山东省济南实验初级中学2024-2025学年下学期七年级期中 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南实验初级中学2024-2025学年下学期七年级期中 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算结果为a9的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂的除法、幂的乘方逐项计算即可．
详解】∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的有关运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则是解答本题的关键．
2. 春暖花开，空气中的花粉含量快速上升，导致部分敏感人群出现不适反应．某花粉直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选D．
3. 如图，的同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角，的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案．
【详解】解：由题意得：的同位角是，
故选：A．
4. 买一张中奖率为99%的彩票，结果中奖是（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 确定性事件
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，随机事件是这件事可能发生也可能不发生；必然事件是这件事一定会发生；不可能事件是这件事一定不会发生．解决本题的关键是根据定义进行判断．
【详解】解：A选项：虽然中奖率为，但是还有的可能性不中奖，所以结果中奖不是必然事件，故A选项不符合题意；
B选项：买一张中奖率为的彩票，结果中奖的可能性比较大，所以结果中奖不是不可能事件，故B选项不符合题意；
C选项：买一张中奖率为的彩票，结果中奖是一件随机事件，故C选项符合题意；
D选项：虽然中奖率为，但是还有的可能性不中奖，所以结果中奖是不确定性事件，故D选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图，在中，边上的高线是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键．直接根据三角形的高的定义即可得到答案．
【详解】解：由图可知：在中，边上的高线是线段．
故选：B．
6. 如图，，若，则等于（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合，得，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
7. 全家观影已成为过年新民俗．2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用《哪吒之魔童闹海》的数量除以电影总数即可得到答案．
【详解】解：∵一共有四部电影，每部电影被选择的概率相同，
∴小明从中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是，
故选：B．
8. 如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（ ）
A. 与互补B.
C. D. 是的余角
【答案】A
【解析】
【分析】由图形得，，，，，再根据角的度量和互余、互补的定义求解即可．本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
【详解】解：A、由图得，，
则，
∴与互补，故该选项符合题意；；
B、由图得，故该选项不符合题意；
C、由图得，故该选项不符合题意；
D、由图得，，故该选项不符合题意；
故选：A
9. 如图，已知，则的度数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义证明，，据此可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
故选：D．
10. 2025是一个非常具有数学魅力的数字，因为．因此，像2025一样能写成前个正整数和的平方的数字，我们称为完美平方数，如：和36都是完美平方数；能写成前个正整数的立方和的数字，我们称为和谐立方数，如：．下列判断中正确的个数是（ ）
①100是个和谐立方数；②第个完美平方数是；③根据下图可以发现；④所有的完美平方数都是和谐立方数．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，根据可判断①；根据即可判断②；观察图形可得规律图n的总面积为或，图n阴影部分的面积为，则有，据此可判断④；图n阴影部分的面积为，又可以分割成一个边长为的正方形面积和两个边长为，的长方形面积，据此可判断③．
【详解】解：∵，
∴100是个和谐立方数，故①正确；
∵，
∴第个完美平方数是
，故②正确；
图1总面积为，阴影部分面积为，
图2的总面积为，阴影部分面积为，
图3的总面积为，阴影部分面积为，
图4的总面积为，阴影部分面积为，
又∵总面积等于空白部分面积加上阴影部分面积，
∴图1的总面积为，
图2总面积为，
图3的总面积为，
图4的总面积为，
……，
以此类推可知，图n的总面积为或，图n阴影部分的面积为，
∴，
∴所有的完美平方数都是和谐立方数，故④正确；
∵图n中空白部分是边长为的正方形，
∴图n阴影部分的面积为，
∴，故③错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是____．

【答案】
【解析】
【分析】影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；
故答案为．
12. 在中，若，则一定是____________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理和已知条件求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴一定是直角三角形，
故答案为：直角．
13. 如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°．
【答案】57
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：57．
14. 如果是一个完全平方式，那么___________．
【答案】6或
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，求答案即可.
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或.
故答案为：6或．
15. 如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大25，
∴，
设点P到线段和线段距离分别为，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点到线段和线段的距离之和为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）计算：；
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘除法即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数．
【详解】解：在中，
，
是的平分线，
，
，
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】1
【解析】
【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．
【详解】解：原式
将代入原式
【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.
19. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上
（1）在下图中过点P做线段，且；
（2）在下图中过点P做线段，且；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，运用网格求三角形的面积，垂直的定义、平行的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合网格特征作线段，且，即可作答．
（2）结合网格特征得，证明是全等三角形，得，通过角的等量代换得，作线段，且，即可作答．
（3）运用割补法列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：线段，如图所示：
【小问2详解】
解：线段如图所示：
【小问3详解】
解：
∴的面积为．
20. 如图，已知平分交于，交的延长线于，．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由两直线平行，同位角相等得，结合角平分线的性质，得，得，结合，则，最后由内错角相等，两直线平行，得，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
∵平分交于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图：在中，、分别是、两边上的高．
（1）求证：；
（2）当时，与的位置关系如何，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【小问1详解】
解：∵、分别是、两边上的高．
∴，
∵，
∴
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵是两边上的高．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.01）；
（2）试估算盒子里白球有___________个；
（3）若要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中在增加几个黑球？
（4）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）．
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”。
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由表中的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案；
（3）运用概率公式列式计算，即可作答．
（4）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查利用概率公式，频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
【小问1详解】
解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：个，
故答案为：；
【小问3详解】
解：依题意，设向盒子中在增加个黑球，
∴
∴，
∴要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中在增加个黑球
【小问4详解】
解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
掷一个质地均匀的正六面体骰子面的点数标记分别为到，落地时面朝上的点数小于的概率为，故不符合题意；
投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：
23. 学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）任务一：补全材料中的两个空①__________，②__________．
（2）任务二：仿照例子的做法计算
①_________；
②_________
③任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）.
【答案】（1），
（2）①②③，
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则 得，则，即可作答．
（2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；
②模仿题干的竖式计算过程作答即可；
③模仿题干的竖式计算过程作答即可；
【小问1详解】
解：依题意，，
则，
故答案为： ，；
【小问2详解】
解：①如图所示：
∴；
故答案为：；
②如图所示：
∴，
故答案为：；
③如图所示：
∵的商为整式，且结合上图的竖式过程，
∴，
此时．
24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1，教材已给出关于a、b的关系式：；根据图2，关于a、b的关系式可表示为：________________；
根据上面的思路与方法，解决下列问题：
（2）如图3，，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，
①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积，
②若阴影面积为，求的值；
（3）在（2）的条件下，请直接写出阴影面积的最大值．
【答案】（1）
（2）①；②8
（3）36
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）大正方形面积等于其边长的平方，大正方形面积等于中间小正方形面积加上4个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形面积即可得到答案；
（2）①设，则，根据求出的值即可得到答案；②设，则，根据（1）可得，进而得到，即；
（3）设，则，根据，得到，据此可得答案．
【小问1详解】
解：大正方形的面积用面积公式计算为，
大正方形面积等于小正方形面积加上4个长方形面积，其面积为，
∴关于、的关系式可表示为：；
故答案：；
【小问2详解】
解：①设，
∵，两正方形的面积和，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵，阴影面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：设，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积的最大值为36．
25. 【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．
【问题初探】：
（1）如图1，当两面镜于,的夹角时，若，则______________，与的位置关系是_______________；
（2）如图2，当两面镜子,的夹角，且时，入射光线经两次射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点，求的度数；
（3）当两面镜子,的夹角时，在两面镜子中间点处有一点光源，如图3，若从点发射一束光射向，入射光线与镜面的夹角，反射后的光线为，再从点发射一束光射向，若使反射后的光线，求与的夹角的度数
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和性质，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得，再结合三角形内角和性质，列式计算得，结合平角得，，根据，即可作答．
（2）根据入射角等于反射角，得，再结合对顶角相等，，，；
（3）同理得，因为，所以，根据三角形内角和性质，得，结合平角的概念得整理得即可作答．
【小问1详解】
解：∵入射角等于反射角
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵入射角等于反射角，
∴，
∵对顶角相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【小问3详解】
解：如图所示：
∵入射角等于反射角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴上式相加得
∵
∴
∵，，
∴
∴．
摸球的次数n
10
20
50
100
200
400
500
1000
摸到白球的次数
4
7
10
28
45
97
127
252
摸到白球的频率
0.400
0.350
0.200
0.280
0.225
0.243
0.254
0.252
多项式除以多项式
我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知___________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得②___________，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照2835用竖式计算（如图）。
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算。