山东省青岛市莱西市（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市莱西市（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共29页。
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 离离原上草，一岁一枯荣B. 钝角三角形的内角和大于
C. 白发三千丈，缘愁似个长D. 打开电视，正在播放《新闻联播》
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性的大小判断即可．
【详解】A. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，故不符合题意；
B. 钝角三角形的内角和大于，是不可能事件，故不符合题意；
C. 白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，故不符合题意；
D. 打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故符合题意；
故选：D．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 垂直于同一直线的两直线平行B. 有两个角互余的三角形是直角三角形
C. 两直线平行，同旁内角相等D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的性质及判定方法，难度不大．
利用平行线的判定和性质定理、直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有两个角互余的三角形是直角三角形，故原命题正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
3. 如图，下面能判断的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行的判定定理，掌握平行的判定定理“判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．”即可解题．
【详解】解：根据平行的判定定理，
，
，
，
，
，
，
综上所述，所以A、B、D项不能判定，C项正确，
故选：C．
4. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A. 24个B. 20个C. 25个D. 30个
【答案】A
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从频率公式入手，列出方程求解．
【详解】解：设有红球个，
根据题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5. 在足球、篮球、网球和垒球中，小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种，根据下面的提示，判断小刘喜欢的是（ ）
①小张不喜欢网球；
②小王不喜欢足球；
③小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球．
A. 足球B. 篮球C. 网球D. 垒球
【答案】C
【解析】
【分析】由③可知小王、小李喜欢足球或垒球，又由②可知小王喜欢垒球，小李喜欢足球，由此为突破口，找出小张和小刘喜欢项目．
【详解】解：由小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球，得小王、小李喜欢足球或垒球；
由小王不喜欢足球，得小王喜欢垒球，小李喜欢足球，
由小张不喜欢网球，得小张喜欢篮球，
故小刘喜欢网球，
故选：C．
【点睛】本题考查了推理论证，利用所给条件中的逻辑关系认真分析，从而推理出正确结论是解题关键．
6. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据平行线性质求角的度数，三角形外角性质，邻补角的求解，现根据平行线性质求出的度数，根据三角形外角性质求出的度数，最后利用邻补角定义求出结果即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠BCD的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如下图所示：
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴∠1＝∠BCD﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质与三角板的特点是解答此题的关键．
8. 小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（ ）题
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可．
【详解】依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，40分钟小时，30分钟小时，共可列出方程组为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解上坡路与下坡路的距离相等．
9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
10. 如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180°−．其中正确的有（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
11. 把命题“锐角小于90°”改写成“如果……那么……”的形式：______．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于90°
【解析】
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【详解】题设是“一个角是锐角”，结论是“这个角小于90°”，
写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
12. 已知函数与的图象交于点关于x，y的方程组的解是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【详解】解：∵函数与的图象交于点，
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：．
13. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，
∴小球停在黑色区域的概率是；
故答案为：
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
14. 亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他求出______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解．
根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值．
详解】解：把代入得，解得．
故答案为：0．
15. 从，，，，这五个数中，任选一个数作为的值，则的图象不经过第二象限的概率是_____．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】从，，，，这五个数中任取一个，共有5种取法，其中函数的图象不经过第二象限的有3个，运用概率公式，即可得到答案．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，概率公式．熟练掌握直线所在的位置与k、b的符号的关系，概率公式，是解题的关键．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点．时，直线与y轴负半轴相交．
【详解】∵的图象一定经过点，交y轴负半轴，
当时，不经过第二象限，
，，2，3，5这五个数中，有三个数大于0，
∴的图象不经过第二象限的概率是，，
故答案为：．
16. 如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答．
【详解】解：如图：作，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
同理：作可证明：
作可证明：，，
…
归纳可得：
由题意得：，解得．
故答案为：6．
三、解答题（本题满分72分，共9道小题）
17. 解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法—代入消元法和加减消元法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，得，
解得，
把代入得：，
解得，
∴原方程组的解是．
【小问2详解】
解：原方程组可变为，
得，，
解得：，
把代入得，，
解得，
所以原方程组的解为．
18. 如图，D是的边上的一点，，，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合，推出，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
．
19. 求证：三角形三个内角的和等于．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出内错角是解答此题的关键．
过点作直线，可得，，再根据平角的定义，即可解答．
【详解】已知：如图，．
求证：
证明：过点作直线，
，
，，
，
，
即三角形三个内角的和等于．
20. 如图，在四边形中，，．
（1）求度数；
（2）平分交于点，．求证：．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
21. 在一个不透明的袋子中装有10个黑球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）摸出的球是黑球的概率是多少？
（2）为了使摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中黑球和白球的数量分别应是多少？
【答案】（1）
（2）这个球中黑球有个，白球有个
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）设这9个球中黑球有个，白球有个，根据摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵袋子中装有个黑球和个白球，
∴随机摸出一球，摸出的球是黑球的概率是；
【小问2详解】
解：设这个球中黑球有个，白球有个，
由题意得：，
解得：，则，
答：这个球中黑球有个，白球有个．
22. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①②，得，即③．③，得④．
④②，得，从而可得，
原方程组的解是
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：
（2）请你求出关于，的方程组的解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，
（1）根据题干的解题方法计算即可；
（2）根据题干的解题方法计算即可．
【小问1详解】
，
①②，得，即③，
③，得④，
④②，得，
解得．
将代入③，得，
原方程组的解为；
【小问2详解】
，
①②，得，
即③，
③，得④，
④①，得．
将代入③，得，
原方程组的解为．
23. 萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称，湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品：已知出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元．
（1）求A产品和B产品每件的售价；
（2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2200元，则出售A，B两种产品各几件？
【答案】（1）A产品的售价200元，B产品的售价300元；
（2）出售A产品2件，B产品6件或A长品出售5件，B产品出售4件或出售A产品8件，B产品2件.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键：
（1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元，列出方程组进行求解即可；
（2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可.
【小问1详解】
解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，
由题意得，
解得，
答：A产品的售价200元，B产品的售价300元；
【小问2详解】
解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，
由题意得，
化简得，
∵a，b为正整数，
∴或或
答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售5件，B产品出售4件或出售A产品8件，B产品2件.
24. 如图，，平分，．
（1）与的位置关系如何？为什么？
（2）若平分，试证明：
①；
②．
【答案】（1），见解析
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定和性质，探究角之间的关系，角的平分线的定义，熟练掌握判断和性质是解题的关键．
（1）利用内错角相等，两直线平行判定即可；
（2）①利用角的平分线的定义和平行线的性质证明即可．
②利用同位角相等，两直线平行判定，再利用两直线平行，同旁内角互补，证明即可．
【小问1详解】
解：结论：与的位置关系：．
∵平分，（已知）
∴．（角平分线的定义）
又∵，（已知），
，
∴（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行 ）．
【小问2详解】
证明：①∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
②∵，（平角的定义）
，（已知）
∴（同角的补角相等 ）
∴．
∴，
∵,,
∴，
∴．
25. 定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”．
（1）已知函数为函数、的“星辰函数”，求m，n的值；
（2）在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点P．过点P作x轴的垂线l，交函数、的“星辰函数”的图象于点Q．若，函数、的“星辰函数”图象经过点P，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，二元一次方程组，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，代入得到，由此化简即可求解．
【小问1详解】
由题意得 ．
整理得，
∴，
解得．
∴．
【小问2详解】
∵函数、的“星辰函数”图象相交于点，
∴
解得，
∴P点坐标为，
∵函数、的“星辰函数”为
化简得，
∵点P在函数、的“星辰函数”图象上，代入得
，整理得，
∵，
∴两边都除以得．