山东省青岛市青岛大学附属实验学校（原青岛市崂山区第三中学）2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市青岛大学附属实验学校（原青岛市崂山区第三中学）2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共29页。
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题，第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，70分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原结果错误，不符合题意；
B、，原结果错误，不符合题意；
C、，原结果正确，符合题意；
D、，原结果错误，不符合题意；
故选C．
2. 下列长度的四根木棒，能与长度分别为3cm和6cm的木棒构成三角形的是（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，
由三角形的三边关系可知，6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
B选项为6cm满足题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放新闻B. 买一张电影票，座位号是奇数号
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故A错误；
B、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，故B错误；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C正确；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 如图所示，不能判定的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、可利用内错角相等，两直线平行判定，故此选项不合题意；
B、可利用内错角相等，两直线平行判定，无法判定，故此选项符合题意；
C、可利用同旁内角互补，两直线平行判定，故此选项不合题意；
D、可利用同旁内角互补，两直线平行判定，故此选项不合题意；
故选：B．
5. 如图，若，则、、之间的关系是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作，然后根据平行线的判定和性质进行分析求解．
【详解】解：过点E作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键．
6. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何概率，利用空白图形的面积除以总面积，进行计算即可．
【详解】解：设小正方形的面积为1，由图可知，向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是；
故选B．
7. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查余角和补角的定义．先根据补角的定义求出该角，然后在根据余角定义即可解答．
【详解】解：这个角的度数是，
这个角的余角的度数是．
故选：A．
8. 下列计算结果等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选D．
9. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和正方形面积公式表示出阴影部分的面积．
根据平行四边形面积公式求出第一个图形的面积，根据正方形面积公式求出第二个图形阴影的面积．即可求出答案．
【详解】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为，
面积是，
第二个图形阴影的面积是，
∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴，
故选：A．
10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可．
【详解】解：∵是中线，
∴，故①错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，是的高，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，即：；故③正确；
∵，
∴；故④正确；
故选B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：由题意得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在附近，
∴可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为，
故答案为：．
12. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值．据此即可求解．
【详解】解：数据0.000022用科学记数法表示为，
故答案为：．
13. 如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是________．
【答案】##57度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，理解题意，熟知平行线的性质和折叠的性质是解题关键，．
根据题意得到，即可得到，根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质即可求出．
【详解】解：如图，由题意得，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴．
故答案为：
14. _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则，进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
15. 现有三种不同的长方形纸片若干张（边长如图所示），若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A种纸片和C种纸片合计______张．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果，可确定A种卡片和C种卡片的张数，据此可得答案．
【详解】解：
，
∴需要A种纸片6张，C种纸片7张，
∴需要A种纸片和C种纸片合计张，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可．
【详解】解：设运动的时间为x秒，
由题意可得：，，，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．
【答案】详见解析．
【解析】
【分析】先根据题意可得，再根据平行线的性质可得，然后根据作一个角等于已知角的尺规作图法即可得．
【详解】由题意得：，
，
根据作一个角等于已知角的尺规作图法作图如下：
则即为所求作．
【点睛】本题考查了平行线的性质、作一个角等于已知角的尺规作图法，根据平行线的性质将问题进行转化是解题关键．
四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）利用乘法公式计算：
（5）利用乘法公式计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握相关运算法则，乘法公式，是解题的关键：
（1）根据幂的乘方和单项式乘以单项式的法则进行计算即可；
（2）进行完全平方公式和去括号运算，再合并同类项即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（4）利用平方差公式进行简算即可；
（5）先用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
原式；
【小问4详解】
原式；
【小问5详解】
原式．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问：
（1）袋子里蓝球有多少个？
（2）任意摸出1个红球的概率是多少？
【答案】（1）蓝球有9个
（2）
【解析】
【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式，是解题的关键：
（1）根据概率求出总数，进行求出蓝球的个数即可；
（2）直接根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：（个）；
答：蓝球有9个；
【小问2详解】
任意摸出1个红球的概率是．
21. 完成下面的证明：
如图，已知，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵（已知），
∴ （垂直的定义）．
即．
∴．
∵（已知），
∴（ ）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（ ）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，垂直的定义，同角的余角，进行作答即可．
【详解】证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（垂直定义）．
即．
∴．
∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
又∵（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
22. 如图，已知四边形，点A在的延长线上，点D在的延长线上，连接交，于点G，H，若，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得出，进而得出，再证明，最后根据平行线的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
23. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”．
（1）如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和
（2）在中，若，，则为“ 倍角三角形”．
（3）如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ．
【答案】（1）；
（2）3 （3）或．
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键．
（1）分的角为最小角和的角为第二大的角，两种情况根据三角形内角和定理求出另外两个角的度数，再根据定义验证即可；
（2）三角形的内角和定理求出，再根据新定义进行判断即可；
（3）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，再分两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解；当的角是最小的角时，则最大的角为，
∴另外一个角的度数为；
当的角不是最小的角，也不是最大的角时，则最小的角的度数为，不符合题意；
综上所述，另外两个内角的度数为和；
【小问2详解】
解：∵在中，若，，
∴，
∵，
∴为“3倍角三角形”；
小问3详解】
解：∵，
∴，
∵的角平分线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴在中，最大，
∵为“6倍角三角形”
∴当时：；
当时，，则：；
故或．
24. 如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到，求得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和求解即可．
【详解】解：∵是边上的高，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
25. 【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与x的取值无关，
，解．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________．
（2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【答案】（1）4；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．
（1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可；
（2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可；
（3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可．
【详解】解：（1）
，
关于的代数式的值与的取值无关，
，
解得：，
故答案为：4；
（2），
，
的值与x无关，
，
即；
（3）设，由图可知，
，
当长变化时，的值始终保持不变．
取值与x无关，
，