安徽省芜湖市2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省芜湖市2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
（答题时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练的掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此判断即可．
【详解】解：∵两个角没有公共顶点，
∴选项A不正确；
∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线，
∴选项B不正确；
∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项C正确；
∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线，
∴选项D不正确．
故选：C．
2. 化简（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据的算术平方根是，从而可得答案．
【详解】解：，
故选：C
3. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 2025D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，则可能是（ ）
A. 0B. 的立方根C. 5D. 9的算术平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系各象限的符号特征，算术平方根，立方根的含义，根据第四象限的纵坐标是负数可得答案．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴．
∵的立方根为，9的算术平方根是，
∴可能是的立方根．
故选：B．
5. 如图，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行知识点是解决问题的关键．根据内错角相等，两直线平行，即，即可判断．
【详解】解：，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故选：A．
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，同旁内角相等
B. 两个锐角的和是钝角
C. 任何数的平方都大于0
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据定理进行判断即可．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故选项A不符合题意；
两个锐角的和可能是锐角，直角或者钝角，故选项B不符合题意；
任何数的平方都大于等于0，故选项C不符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项D符合题意；
故选D．
7. 如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据图形上点的平移规律：上加下减，左减右加，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
∵图1中点P的坐标为，
∴图2中点的坐标为，
故选：D．
8. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
9. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题，按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案．
【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，

由题意得，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次，
，
点的坐标与相同，
．
故选：D．
10. 如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A. 或或B. 或或
C. 或或D. 或或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵是含有角的三角板，
∴，，，
∵是含有的三角板，
∴，，
∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行，
∴有以下三种情况：
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为的平分线，即，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
如图，当时，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，要从河中引水灌溉农田，通常会从灌溉点沿着垂直于河岸的方向修建引水渠，这么做的原理是________________．
【答案】点到直线，垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线最短是关键．
根据题意，运用点到直线，垂线段最短的知识，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，点沿着垂直于河岸的方向修建引水渠，这么做的原理是点到直线，垂线段最短，
故答案为：点到直线，垂线段最短 ．
12. 如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵点B坐标为，点C坐标为，且同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，
则建立平面直角坐标系如图所示：
∴点A的坐标为
故答案为：
13. 如果一张矩形纸的长：宽=：1，则称这样的纸为标准纸．如图，A0是一张长为a的标准纸，将A0对折可得标准纸A1，依次对折下去，得到的纸都是标准纸，对折n次后新得标准纸An的长为__．（用含a的代数式表示）
【答案】
【解析】
【详解】根据有理数的乘方和算术平方根可得对折n次后新得标准纸An的长为.
点睛：此题考查算术平方根问题，关键是根据有理数的乘方和算术平方根解答.
14. 曙光学校拟利用一块空地植树，方案如下：第k棵树种植点记为，其中，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．请按此方案，解决以下问题：
（1）第6棵树种植点为_______；
（2）第2025棵树种植点为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律，根据新定义得出的值，找到规律是解题的关键．
（1）根据新定义可得，当，11，16，时，，当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，据此可得，，，由此规律可得答案．
（2）根据（1）所得规律求解即可．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，……，，
∵当时，
当，11，16，时，，
当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，
，
，
．
∴第6棵树种植点为，
故答案为：；
（2）∵，
，，
第2025棵树种植点为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，化简绝对值，再计算立方根，再合并即可．
【详解】解：
；
16. 学习了平面直角坐标系后，李华制作了一件数学实践作品，请按要求完成下列各题：
（1）如图平面直角坐标系中，已知点，若点向左平移3个单位得到点，点先向上平移1个单位，再向左平移3个单位得到点，请写出点，点的坐标，并在平面直角坐标系中标注出来；
（2）请你在平面直角坐标系中按照顺序依次连接，此时呈现出来的图案即为李华的数学实践作品，这是一个_______．（填写图案形状的名称）
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，五角星
【解析】
【分析】本题主要考查了在网格图与坐标以及平移的知识，明确题意是解答本题的关键．
（1）依据给出的平移方法描点，再根据点的位置即可求解；
（2）依据给出的连线方法连线即可．
【小问1详解】
解：作图如下：
由图可知：坐标．
【小问2详解】
解：按照顺序依次连接，
图案如图所示：五角星．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，直线被直线c所截，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的意义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据邻补角互补以及求出度数，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
18. 平面直角坐标系中，已知第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且轴，，试求点Q的坐标．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的坐标的几何意义是解题的关键；由题意易得，设，然后根据可进行求解
【详解】解：第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
，
轴，
∴设．
若，则，
解得：或，
点Q的坐标为或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 先认真阅读以下对话，然后解决问题：
【对话】
【探索】若的小数部分是b，求的值的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查立方根、平方根及无理数估算，熟练掌握立方根、平方根及无理数的估算是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据平方根可进行求解．
【详解】解：，
，
的整数部分是2．
又的小数部分是b，
是的整数部分，
．
的平方根是．
20. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为________；
（2）点的“短距”为3，求m的值；
（3）若，两点为“等距点”，求k的值．
【答案】（1）2 （2）或2
（3）或2
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离，
对于（1）根据定义解答即可；
对于（2），根据定义可知，求出解；
对于（3），根据定义分两种情况讨论可得答案．
小问1详解】
解：∵，
∴短距是2．
故答案为：2；
【小问2详解】
解：由题意可知，解得或2；
【小问3详解】
解：当①，解得或，
时，，符合题意；
时，，符合题意；
②，解得或．
时，，不合题意，舍去，
时，，不合题意，舍去．
综上，或2．
六、（本题满分12分）
21. 根据素材，完成下列任务
【答案】任务一：型号Ⅱ；任务二：秒或69秒或125秒或141秒
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，一元一次方程和角度的关系，理解数量关系，数形结合分析是解题的关键．
任务一：如图所示，当A转动后，延长交于点T，延长交于点S，，由题意得B转动了，根据平行线的性质得到，则，由此即可求解；
任务二：根据题意，设A旋转时间t秒，当时，B灯光束到，A转完需要秒，如图所示，延长交于点D，延长交于点C，由平行线的性质得到，分类讨论即可求解．
【详解】解：任务一：如图所示，
当A转动后，延长交于点T，延长交于点S，
∴，
∴，
∵B转动了，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴A每秒转，
∴A灯安装的是型号Ⅱ．
任务二：设A旋转时间t秒，当时，B灯光束到，
∴，A转完需要秒，如图所示，
延长交于点D，延长交于点C，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
①，
∴秒；
②，
∴秒；
③，
∴秒；
④，
∴；
综上所述，秒或69秒或125秒或141秒．
七、（本题满分12分）
22. 阅读下列材料，解决相关任务：
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．
例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
任务：
（1）约率（ ）
A．无理数 B．有限小数 C．整数 D．有理数
（2）已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数．
【答案】（1）D （2）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键．
（1）是正分数，是有理数；
（2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可．
【小问1详解】
解：是正分数，是有理数．
故选：D；
小问2详解】
解：，
首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为．
且，
，
再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为，
的近似分数为．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知分别在上，点G在之间，连接．
（1）当平分平分时，
①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值；
（2）如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线性质求得，进而根据，得到．
【小问1详解】
解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
【小问2详解】
解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
我用计算器发现是一个小数，你能不用计算器找出这个小数的整数部分和小数部分吗？
，
的整数部分是3．
减去整数部分就是小数部分，的小数部分是．
江景灯光秀
素材一
今年除夕夜小周江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图②，A灯射出的光线从开始逆时针旋转至便立即回转，B灯射出的光线从开始逆时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转．假定江两岸平行，即．
素材二
B灯射出光线的转动的速度为，A灯有两种型号可供选择：型号I的速度为，型号Ⅱ的速度为．
为了呈现不同的投射效果，小周观察发现B灯先转动后A灯才开始转动，且A灯转动时两灯的光束刚好互相垂直．
问题解决
任务一
请你判断A灯所安装的型号，并说明理由．
任务二
当B灯的光束第一次达到之前，两灯的光束能否互相平行，如果能互相平行，请求出此时灯A旋转的时间．