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2023-2024学年安徽省芜湖市七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 同角的余角相等C. 相等的角是对顶角D. 互补的角是邻补角
2.2的算术平方根是( )
A. 2B. 2C. ± 2D. ±2
3.如图，根据下列某个条件，可以得到AF//CD，则这个条件应该是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠6=∠5
C. ∠1=∠5
D. ∠1=∠3
4.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( )
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 已知直线的垂线只有一条
5.已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是( )
A. (−2,3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (2,−3)
6.若整数x满足5+ 19≤x≤4 5+2，则x的值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为 3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为 2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是( )
A. ①②
B. ②④
C. ①④
D. ①③
8.如图，直线l1//l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是( )
A. 135°
B. 105°
C. 95°
D. 75°
9.有一列数按一定规律排列：12,− 34, 56,− 78,310，…，则第n个数是( )
A. (−1)n+1⋅ 2n+12nB. (−1)n+1⋅ 2n−12n
C. (−1)n⋅ 2n−12nD. (−1)n⋅ 3n−2n2
10.如图，在平面直角坐标中，动点M从点(−2,0)出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点(0,2)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(4,−4)，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点( )
A. (4040,2)B. (4042,−4)C. (4044,0)D. (4046,0)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在平面直角坐标系中，将点P(1,0)向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为______．
12.比较大小： 5−12______58.(填“>”，“<”或“=”)
13.已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是______．
14.已知AB//CD，请完成以下问题：
(1)如图1，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系是______；
(2)如图2，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算： 16+3−27+|1− 2|
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠BOC内一条射线，OC平分∠AOE.(1)若∠BOE=80°，求∠AOC的度数．
(2)若∠BOE比∠BOD大30°，求∠BOD的度数．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中完成以下问题：
(1)描出点A(−3,−2)，B(2,−2)，C(−2,1)，D(3,1)，并顺次连接A，C，D，B点；
(2)求四边形ACDB的面积．
18.(本小题8分)
如图，已知点C、A、F在一条直线上，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点E，交AB于点G，若AD平分∠BAC.证明：∠F=∠5．
19.(本小题10分)
如图，将直角三角形ABC放在平面直角坐标系中，∠C=90°，AC//y轴，BC//x轴，点C(2,1).若AC=3，BC=4，求点A，B的坐标．
20.(本小题10分)
如图
是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明．
已知：如图，BC//AD，BE//AF．
(1)求证：∠A=∠B；
(2)若∠DOB=125°，求∠A的度数．
21.(本小题12分)
阅读下列材料：
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.例如：点P(1,4)的3级关联点“为Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13)．
(1)已知点A(2,6)的“12级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)已知点P(2,−1)的“a级关联点”为(9,b)，求a+b的值；
(3)已知点M(m−1,2m)的“−4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中(单位长度为1cm)，已知点A(0,4)，N(6,0)，若E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．
(1)经过几秒后，AP=OQ？
(2)若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．
23.(本小题14分)
如图1，点P为直线AB、CD内部一点，连接PE、PF，∠P=∠BEP+∠PFD．
(1)求证：AB//CD；
(2)如图2，点G为AB上一点，连接GP并延长交CD于点H，若∠PHF=∠EPF，过点G作GK⊥EP于点K，求证：∠PFH+∠PGK=90°．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.内错角不一定相等，故内错角相等是假命题；
B.同角的余角相等，是真命题；
C.相等的角不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题；
D.互补的角不一定是邻补角，故互补的角是邻补角是假命题；
故选：B．
根据内错角的概念、余角的定义、对顶角的概念以及邻补角的概念进行判断．
本题主要考查了命题与定理，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，定理是真命题，但真命题不一定是定理．
2.【答案】A
【解析】解：( 2)2=2，
2的算术平方根是 2，
故选：A．
根据平方与开平方互为逆运算，可得一个数的算术平方根．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠3，
∴AF//CD，故D正确；
∵∠1=∠2，
∴AF//BE，故A错误；
∵∠6=∠5，
不能得出AF//CD，故B错误；
∵∠1=∠5，
不能得出AF//CD，故C错误；
故选：D．
根据内错角相等，两直线平行解答即可．
此题考查平行线的判定，关键是根据内错角相等，两直线平行解答．
4.【答案】C
【解析】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：C．
直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是−3，
∴点P的坐标是(2,−3)．
故选：D．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵16<19<25，
∴4< 19<5，
∴9< 19+5<10，
∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴8<4 5<12，
∴10<4 5+2<14，
∵5+ 19≤x≤4 5+2，
∴整数x为10．
故选：C．
根据算术平方根的定义得到4< 19<5，2< 5<3，则9< 19+5<10，10<4 5+2<14，然后把x=8、9、10、11代入进行检验可得到x=10时满足两个条件．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
7.【答案】D
【解析】【解答】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时， 16=4， 4=2，即y= 2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【分析】
根据运算规则即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8.【答案】B
【解析】解：如图，∵l1//l2，
∴∠1=∠3=45°，
又∵∠4=30°，
∴∠2=180°−∠3−∠4=180°−45°−30°=105°，
故选：B．
依据l1//l2，即可得到∠1=∠3=45°，再根据∠4=30°，即可得出从∠2=180°−∠3−∠4=105°．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
9.【答案】B
【解析】解：第1个数：12=(−1)2× 2×1−12×1；
第2个数：− 34=(−1)3× 2×2−12×2；
第3个数： 56=(−1)4× 2×3−12×3；
……，
第n个数是(−1)n× 2n−12n；
故选：B．
根据题干中的数据总结规律即可．
本题考查规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题知，
第1次运动后，动点P的坐标是(0,2)；
第2次运动后，动点P的坐标是(2,0)；
第3次运动后，动点P的坐标是(4,−4)；
第4次运动后，动点P的坐标是(6,0)；
第5次运动后，动点P的坐标是(8,2)；
第6次运动后，动点P的坐标是(10,0)；
第7次运动后，动点P的坐标是(12,−4)；
…，
由此可见，第4i次(i为正整数)运动后，动点P的坐标是(8i−2,0)．
又4×506=2024，
即第2024次运动后，动点P的坐标是(8×506−2,0)，即(4046,0)．
故选：D．
依次求出前几次运动后点P的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．
本题考查点的运动规律，能根据点P的运动发现第4i次(i为正整数)运动后，动点P的坐标是(8i−2,0)是解题的关键．
11.【答案】(1,−3)
【解析】解：将点P(1,0)向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为(1,0−3)，即(1,−3)．
故答案为：(1,−3)．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】<
【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出 5−12−58的差的正、负．
首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出 5−12、58的大小关系即可．
【解答】
解： 5−12−58
=4 5−48−58
=4 5−98
因为(4 5)2−92=80−81=−1<0，
所以4 5<9，
所以4 5−9<0，
所以 5−12−58<0，
所以 5−12<58．
故答案为：<．
13.【答案】75°、105°
【解析】解：∵一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，
∴这两个角相等或互补．
又∵这两个角的差是30°，
∴这两个角互补．
设一个角为x，则另一个角为x+30°，
根据题意可知：x+x+30°=180°．
解得：x=75°，x+30°=75°+30°=105°．
故答案为：75°、105°．
由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的差是30°可知，该这个角互补，从而可求得这两个角的度数．
本题主要考查的是垂线的定义，根据题意得到这两个角相等或互补是解题的关键．
14.【答案】∠2+∠4=∠1+∠3+∠5 40°
【解析】解：(1)如图1中，
如图2中，作GM//AB，FN//AB，EH//AB，
∵AB//CD，
∴AB//GM//FN//EH//CD，
∴∠1=∠AEH，∠HEG=∠EGM，∠MGF=∠GFN，∠NFC=∠5，
∴∠AEG+∠GFC=∠1+∠EGF+∠5，
即∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
故答案为：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
(2)如图2中，作KG//AB，HQ//AB，MN与HQ交于点T．
∵AB//CD，KG//AB，HQ//AB，
∴AB//KG//QH//CD，
∴∠FGH=∠EFA=30°，
∵∠FGH=90°，
∴∠KGH=60°，
∴∠KGH=∠GHQ=60°，∠HTM=∠CNP=50°，
∵∠HTN=∠QHM+∠M，∠M=30°，
∴∠QHM=20°，
∴∠GHM=∠QHG−∠QHM=40°．
故答案为：40°．
(2)如图1中，作GM//AB，FN//AB，结论∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，利用平行线的性质即可证明．
(3)如图2中，作KG//AB，HP//AB，MN与HP交于点T，利用平行线的性质即可解决．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：原式=4−3+ 2−1= 2．
【解析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)∵∠BOE=80°，∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=100°；
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=12∠AOE=50°；
(2)设∠BOD=x，则∠AOC=x，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOC=2x，
∵∠BOE比∠BOD大30°，
∴∠BOE=x+30°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴2x+x+30°=180°，
解得：x=50°，
即∠BOD=50°．
【解析】(1)由已知可求得∠AOE的度数，再由角平分线的意义即可求解；
(2)设∠BOD=x，则由已知可分别得∠AOC=x，∠AOE=2x，∠BOE=x+30°，由互补关系建立方程即可求解．
本题考查了角平分线的定义，关键是角的互补关系和对顶角性质的应用．
17.【答案】解：(1)如图，
(2)四边形ACDB的面积为6×3−12×1×3−12×1×3=15．
【解析】(1)先画图，再根据点的坐标描出点A、B、C、D，再顺次连接A，B，C，D点；
(2)根据点的坐标，利用面积的关系即可求解．
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出A、B、C、D四个点是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点E，
∴∠1=∠2=90°，
∴AD//FE．
∴∠4=∠5，∠3=∠F，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠3=∠4．
∴∠F=∠5．
【解析】根据垂直定义求出∠1=∠2=90°，根据“同位角相等，两直线平行”求出AD//FE.再根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：∵AC//y轴，
∴点A的横坐标为2．
∵BC//x轴，
∴点B的纵坐标为1．
设点A、点B的坐标分别为(2,y)，(x,1)，
∵AC=3，
∴|y−1|=3.解得y=4或−2．
∴A(2,4)或A(2,−2)．
∵BC=4，
∴|x−2|=4.解得x=−2或6．
∴B(−2,1)或B(6,1)．
【解析】根据平行线确定点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，设点A、点B的坐标分别为(2,y)，(x,1)根据AC=3，BC=4代入计算横坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质，确定点的纵坐标是关键．
20.【答案】(1)证明：∵BC//AD，
∴∠B=∠DOE，
又BE//AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
(2)解：∵BE//AF，
∴∠EOA+∠A=180°，
∵∠DOB=∠EOA，∠DOB=125°，
∴∠A=55°．
【解析】(1)由平行线的性质(两直线平行，同位角相等)可得∠B=∠DOE，∠DOE=∠A，据此求证即可；
(2)由平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)可得∠A=180°−∠AOE，据此求解即可．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键．
21.【答案】解：(1)点A(2,6)的“12级关联点”为B(12×2+6,2+12×6)，即B(7,5)；
(2)∵点P(2,−1)的“a级关联点”为(9,b)，
∴2a−1=9，2−a=b，
∴a=5，b=−3，
∴a+b=5−3=2；
(3)∵点M(m−1,2m)的“−4级关联点”N的横坐标为−4(m−1)+2m，纵坐标为m−1−4×2m，
∴N(−2m+4,−7m−1)，
当点N位于x轴上时，可得−7m−1=0，
解得：m=−17，
∴−2m+4=307，
∴N(307,0)；
当点N位于y轴上时，可得−2m+4=0，
解得：m=2，
∴−7m−1=−15，
∴N(0,−15)，
综上，点N的坐标为(307,0)或(0,−15)．
【解析】(1)根据“a级关联点”的定义计算即可；
(2)根据“a级关联点”的定义列式求出a，b，然后计算a+b的值即可；
(3)根据“a级关联点”的定义列式表示出点N的坐标，然后分点N位于x轴上和点N位于y轴上两种情况，分别求出m的值，然后可得对应的点N的坐标．
本题考查了新定义，坐标轴上点的坐标特征，正确理解“a级关联点”的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设经过x秒后，AP=OQ，
若点P在y轴右侧，依题意，得
6−2x=x，解得x=2．
若点P在y轴左侧，得2x−6=x，解得x=6．
∴经过2秒或6秒后，AP=OQ．
(2)当点P在y轴右侧时，依题意，得：
(6−2x)+x2×4=10，解得x=1，6−2x=4，
此时点P的坐标为(4,4)；
当点P在y轴左侧时，依题意，得(2x−6)+x2×4=10，
解得x=113,2x−6=223−6=43，此时点P的坐标为(−43,4)．
综上所述，点P的坐标为(4,4)或(−43,4)．
【解析】(1)根据AP=OQ列出关于x的方程，解方程即可；
(2)设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积=12(OQ+AP)⋅OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，梯形的面积，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，过点P作PM//AB，
∴∠BEP=∠MPE．
∵∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∴∠MPF=∠PFD．
∴PM//CD，
∴AB//CD．
(2)如图2，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠MPG=∠PHF．
∵∠PHF=∠EPF，
∴∠MPG=∠EPF．
∴∠MPF=∠GPK．
∵PM//AB，AB//CD，
∴MP//CD，
∴∠MPF=∠PFH，
∴∠PFH=∠GPK．
∵GK⊥PE，
∴∠GKE=90°，
过点P作PN//KG．
∴∠NPK=∠GKE=90°，∠KGP=∠GPN，
∵∠GPK+∠GPN=90°，
∴∠PFH+∠PGK=90°．
【解析】(1)过点P作PM//AB，根据平行线的性质及角的和差求出∠MPF=∠PFD，根据“内错角相等，两直线平行”推出PM//CD，根据平行公理推论即可得证；
(2)过点P作PM//AB，过点P作PN//KG.则MP//CD，根据平行线的性质及角的和差求出∠MPF=∠GPK，∠PFH=∠GPK，∠NPK=∠GKE=90°，∠KGP=∠GPN，再根据角的和差即定理代换求证即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
1.下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 同角的余角相等C. 相等的角是对顶角D. 互补的角是邻补角
2.2的算术平方根是( )
A. 2B. 2C. ± 2D. ±2
3.如图，根据下列某个条件，可以得到AF//CD，则这个条件应该是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠6=∠5
C. ∠1=∠5
D. ∠1=∠3
4.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( )
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 已知直线的垂线只有一条
5.已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是( )
A. (−2,3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (2,−3)
6.若整数x满足5+ 19≤x≤4 5+2，则x的值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为 3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为 2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是( )
A. ①②
B. ②④
C. ①④
D. ①③
8.如图，直线l1//l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是( )
A. 135°
B. 105°
C. 95°
D. 75°
9.有一列数按一定规律排列：12,− 34, 56,− 78,310，…，则第n个数是( )
A. (−1)n+1⋅ 2n+12nB. (−1)n+1⋅ 2n−12n
C. (−1)n⋅ 2n−12nD. (−1)n⋅ 3n−2n2
10.如图，在平面直角坐标中，动点M从点(−2,0)出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点(0,2)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(4,−4)，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点( )
A. (4040,2)B. (4042,−4)C. (4044,0)D. (4046,0)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在平面直角坐标系中，将点P(1,0)向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为______．
12.比较大小： 5−12______58.(填“>”，“<”或“=”)
13.已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是______．
14.已知AB//CD，请完成以下问题：
(1)如图1，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系是______；
(2)如图2，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算： 16+3−27+|1− 2|
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠BOC内一条射线，OC平分∠AOE.(1)若∠BOE=80°，求∠AOC的度数．
(2)若∠BOE比∠BOD大30°，求∠BOD的度数．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中完成以下问题：
(1)描出点A(−3,−2)，B(2,−2)，C(−2,1)，D(3,1)，并顺次连接A，C，D，B点；
(2)求四边形ACDB的面积．
18.(本小题8分)
如图，已知点C、A、F在一条直线上，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点E，交AB于点G，若AD平分∠BAC.证明：∠F=∠5．
19.(本小题10分)
如图，将直角三角形ABC放在平面直角坐标系中，∠C=90°，AC//y轴，BC//x轴，点C(2,1).若AC=3，BC=4，求点A，B的坐标．
20.(本小题10分)
如图
是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明．
已知：如图，BC//AD，BE//AF．
(1)求证：∠A=∠B；
(2)若∠DOB=125°，求∠A的度数．
21.(本小题12分)
阅读下列材料：
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.例如：点P(1,4)的3级关联点“为Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13)．
(1)已知点A(2,6)的“12级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)已知点P(2,−1)的“a级关联点”为(9,b)，求a+b的值；
(3)已知点M(m−1,2m)的“−4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中(单位长度为1cm)，已知点A(0,4)，N(6,0)，若E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．
(1)经过几秒后，AP=OQ？
(2)若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．
23.(本小题14分)
如图1，点P为直线AB、CD内部一点，连接PE、PF，∠P=∠BEP+∠PFD．
(1)求证：AB//CD；
(2)如图2，点G为AB上一点，连接GP并延长交CD于点H，若∠PHF=∠EPF，过点G作GK⊥EP于点K，求证：∠PFH+∠PGK=90°．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.内错角不一定相等，故内错角相等是假命题；
B.同角的余角相等，是真命题；
C.相等的角不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题；
D.互补的角不一定是邻补角，故互补的角是邻补角是假命题；
故选：B．
根据内错角的概念、余角的定义、对顶角的概念以及邻补角的概念进行判断．
本题主要考查了命题与定理，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，定理是真命题，但真命题不一定是定理．
2.【答案】A
【解析】解：( 2)2=2，
2的算术平方根是 2，
故选：A．
根据平方与开平方互为逆运算，可得一个数的算术平方根．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠3，
∴AF//CD，故D正确；
∵∠1=∠2，
∴AF//BE，故A错误；
∵∠6=∠5，
不能得出AF//CD，故B错误；
∵∠1=∠5，
不能得出AF//CD，故C错误；
故选：D．
根据内错角相等，两直线平行解答即可．
此题考查平行线的判定，关键是根据内错角相等，两直线平行解答．
4.【答案】C
【解析】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：C．
直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是−3，
∴点P的坐标是(2,−3)．
故选：D．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵16<19<25，
∴4< 19<5，
∴9< 19+5<10，
∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴8<4 5<12，
∴10<4 5+2<14，
∵5+ 19≤x≤4 5+2，
∴整数x为10．
故选：C．
根据算术平方根的定义得到4< 19<5，2< 5<3，则9< 19+5<10，10<4 5+2<14，然后把x=8、9、10、11代入进行检验可得到x=10时满足两个条件．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
7.【答案】D
【解析】【解答】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时， 16=4， 4=2，即y= 2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【分析】
根据运算规则即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8.【答案】B
【解析】解：如图，∵l1//l2，
∴∠1=∠3=45°，
又∵∠4=30°，
∴∠2=180°−∠3−∠4=180°−45°−30°=105°，
故选：B．
依据l1//l2，即可得到∠1=∠3=45°，再根据∠4=30°，即可得出从∠2=180°−∠3−∠4=105°．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
9.【答案】B
【解析】解：第1个数：12=(−1)2× 2×1−12×1；
第2个数：− 34=(−1)3× 2×2−12×2；
第3个数： 56=(−1)4× 2×3−12×3；
……，
第n个数是(−1)n× 2n−12n；
故选：B．
根据题干中的数据总结规律即可．
本题考查规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题知，
第1次运动后，动点P的坐标是(0,2)；
第2次运动后，动点P的坐标是(2,0)；
第3次运动后，动点P的坐标是(4,−4)；
第4次运动后，动点P的坐标是(6,0)；
第5次运动后，动点P的坐标是(8,2)；
第6次运动后，动点P的坐标是(10,0)；
第7次运动后，动点P的坐标是(12,−4)；
…，
由此可见，第4i次(i为正整数)运动后，动点P的坐标是(8i−2,0)．
又4×506=2024，
即第2024次运动后，动点P的坐标是(8×506−2,0)，即(4046,0)．
故选：D．
依次求出前几次运动后点P的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．
本题考查点的运动规律，能根据点P的运动发现第4i次(i为正整数)运动后，动点P的坐标是(8i−2,0)是解题的关键．
11.【答案】(1,−3)
【解析】解：将点P(1,0)向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为(1,0−3)，即(1,−3)．
故答案为：(1,−3)．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】<
【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出 5−12−58的差的正、负．
首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出 5−12、58的大小关系即可．
【解答】
解： 5−12−58
=4 5−48−58
=4 5−98
因为(4 5)2−92=80−81=−1<0，
所以4 5<9，
所以4 5−9<0，
所以 5−12−58<0，
所以 5−12<58．
故答案为：<．
13.【答案】75°、105°
【解析】解：∵一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，
∴这两个角相等或互补．
又∵这两个角的差是30°，
∴这两个角互补．
设一个角为x，则另一个角为x+30°，
根据题意可知：x+x+30°=180°．
解得：x=75°，x+30°=75°+30°=105°．
故答案为：75°、105°．
由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的差是30°可知，该这个角互补，从而可求得这两个角的度数．
本题主要考查的是垂线的定义，根据题意得到这两个角相等或互补是解题的关键．
14.【答案】∠2+∠4=∠1+∠3+∠5 40°
【解析】解：(1)如图1中，
如图2中，作GM//AB，FN//AB，EH//AB，
∵AB//CD，
∴AB//GM//FN//EH//CD，
∴∠1=∠AEH，∠HEG=∠EGM，∠MGF=∠GFN，∠NFC=∠5，
∴∠AEG+∠GFC=∠1+∠EGF+∠5，
即∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
故答案为：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
(2)如图2中，作KG//AB，HQ//AB，MN与HQ交于点T．
∵AB//CD，KG//AB，HQ//AB，
∴AB//KG//QH//CD，
∴∠FGH=∠EFA=30°，
∵∠FGH=90°，
∴∠KGH=60°，
∴∠KGH=∠GHQ=60°，∠HTM=∠CNP=50°，
∵∠HTN=∠QHM+∠M，∠M=30°，
∴∠QHM=20°，
∴∠GHM=∠QHG−∠QHM=40°．
故答案为：40°．
(2)如图1中，作GM//AB，FN//AB，结论∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，利用平行线的性质即可证明．
(3)如图2中，作KG//AB，HP//AB，MN与HP交于点T，利用平行线的性质即可解决．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：原式=4−3+ 2−1= 2．
【解析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)∵∠BOE=80°，∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=100°；
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=12∠AOE=50°；
(2)设∠BOD=x，则∠AOC=x，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOC=2x，
∵∠BOE比∠BOD大30°，
∴∠BOE=x+30°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴2x+x+30°=180°，
解得：x=50°，
即∠BOD=50°．
【解析】(1)由已知可求得∠AOE的度数，再由角平分线的意义即可求解；
(2)设∠BOD=x，则由已知可分别得∠AOC=x，∠AOE=2x，∠BOE=x+30°，由互补关系建立方程即可求解．
本题考查了角平分线的定义，关键是角的互补关系和对顶角性质的应用．
17.【答案】解：(1)如图，
(2)四边形ACDB的面积为6×3−12×1×3−12×1×3=15．
【解析】(1)先画图，再根据点的坐标描出点A、B、C、D，再顺次连接A，B，C，D点；
(2)根据点的坐标，利用面积的关系即可求解．
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出A、B、C、D四个点是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点E，
∴∠1=∠2=90°，
∴AD//FE．
∴∠4=∠5，∠3=∠F，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠3=∠4．
∴∠F=∠5．
【解析】根据垂直定义求出∠1=∠2=90°，根据“同位角相等，两直线平行”求出AD//FE.再根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：∵AC//y轴，
∴点A的横坐标为2．
∵BC//x轴，
∴点B的纵坐标为1．
设点A、点B的坐标分别为(2,y)，(x,1)，
∵AC=3，
∴|y−1|=3.解得y=4或−2．
∴A(2,4)或A(2,−2)．
∵BC=4，
∴|x−2|=4.解得x=−2或6．
∴B(−2,1)或B(6,1)．
【解析】根据平行线确定点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，设点A、点B的坐标分别为(2,y)，(x,1)根据AC=3，BC=4代入计算横坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质，确定点的纵坐标是关键．
20.【答案】(1)证明：∵BC//AD，
∴∠B=∠DOE，
又BE//AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
(2)解：∵BE//AF，
∴∠EOA+∠A=180°，
∵∠DOB=∠EOA，∠DOB=125°，
∴∠A=55°．
【解析】(1)由平行线的性质(两直线平行，同位角相等)可得∠B=∠DOE，∠DOE=∠A，据此求证即可；
(2)由平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)可得∠A=180°−∠AOE，据此求解即可．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键．
21.【答案】解：(1)点A(2,6)的“12级关联点”为B(12×2+6,2+12×6)，即B(7,5)；
(2)∵点P(2,−1)的“a级关联点”为(9,b)，
∴2a−1=9，2−a=b，
∴a=5，b=−3，
∴a+b=5−3=2；
(3)∵点M(m−1,2m)的“−4级关联点”N的横坐标为−4(m−1)+2m，纵坐标为m−1−4×2m，
∴N(−2m+4,−7m−1)，
当点N位于x轴上时，可得−7m−1=0，
解得：m=−17，
∴−2m+4=307，
∴N(307,0)；
当点N位于y轴上时，可得−2m+4=0，
解得：m=2，
∴−7m−1=−15，
∴N(0,−15)，
综上，点N的坐标为(307,0)或(0,−15)．
【解析】(1)根据“a级关联点”的定义计算即可；
(2)根据“a级关联点”的定义列式求出a，b，然后计算a+b的值即可；
(3)根据“a级关联点”的定义列式表示出点N的坐标，然后分点N位于x轴上和点N位于y轴上两种情况，分别求出m的值，然后可得对应的点N的坐标．
本题考查了新定义，坐标轴上点的坐标特征，正确理解“a级关联点”的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设经过x秒后，AP=OQ，
若点P在y轴右侧，依题意，得
6−2x=x，解得x=2．
若点P在y轴左侧，得2x−6=x，解得x=6．
∴经过2秒或6秒后，AP=OQ．
(2)当点P在y轴右侧时，依题意，得：
(6−2x)+x2×4=10，解得x=1，6−2x=4，
此时点P的坐标为(4,4)；
当点P在y轴左侧时，依题意，得(2x−6)+x2×4=10，
解得x=113,2x−6=223−6=43，此时点P的坐标为(−43,4)．
综上所述，点P的坐标为(4,4)或(−43,4)．
【解析】(1)根据AP=OQ列出关于x的方程，解方程即可；
(2)设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积=12(OQ+AP)⋅OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，梯形的面积，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，过点P作PM//AB，
∴∠BEP=∠MPE．
∵∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∴∠MPF=∠PFD．
∴PM//CD，
∴AB//CD．
(2)如图2，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠MPG=∠PHF．
∵∠PHF=∠EPF，
∴∠MPG=∠EPF．
∴∠MPF=∠GPK．
∵PM//AB，AB//CD，
∴MP//CD，
∴∠MPF=∠PFH，
∴∠PFH=∠GPK．
∵GK⊥PE，
∴∠GKE=90°，
过点P作PN//KG．
∴∠NPK=∠GKE=90°，∠KGP=∠GPN，
∵∠GPK+∠GPN=90°，
∴∠PFH+∠PGK=90°．
【解析】(1)过点P作PM//AB，根据平行线的性质及角的和差求出∠MPF=∠PFD，根据“内错角相等，两直线平行”推出PM//CD，根据平行公理推论即可得证；
(2)过点P作PM//AB，过点P作PN//KG.则MP//CD，根据平行线的性质及角的和差求出∠MPF=∠GPK，∠PFH=∠GPK，∠NPK=∠GKE=90°，∠KGP=∠GPN，再根据角的和差即定理代换求证即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
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