2025年中考数学一模试卷

这是一份2025年中考数学一模试卷，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是
A．2023 B． C． D．
2．将数21500000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．9的算术平方根是
A．B．C．3D．
4．若代数式有意义，则实数的取值范围是
A． B．x≥0 C． D．x≥0 且
5．如图所示的几何体的俯视图是
A． B． C． D．
6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是
A． B． C． D．

8.如图①，点为矩形边上一个动点，运动路线是，设点运动的路径长为，，图②是随变化的函数图象，则矩形对角线的长是
A．B．6 C．12 D．24
二、填空题（共20分）
9．比较大小： ．
10．分解因式： ．
11．将一个长方形纸片按如图方式折叠，若，则 ．
（14）
12．已知是方程的一个根，则代数式 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）．
14．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为 ．
15．用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ．
16．如图，小玲家在某24层楼的顶楼，对面新建了一幢28米高的图书馆，小玲在楼顶处看图书馆楼顶处和楼底处的俯角分别是，，则两楼之间的距离是 米．

17．矩形中，，．点在矩形的内部，点在边上，满足，若是等腰三角形，则的长为 ．
18．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ．
三、解答题（共76分）
19．（6分）计算：．
（6分）先化简，再求值：，其中是满足条件x≤2的合适的非负整数．
21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线、交于，平分．（1）求证：四边形是菱形；（2）过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．

22．（10分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；．长征会师胜利之旅（会宁县）；．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
23．（12分）2015“两相和”杯群星演唱会在我市体育馆进行，市文化局、广电局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张，总费用为（元．
方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用广告赞助费门票费）
方案二：直接购买门票方式如图所示．解答下列问题：
（1）方案一中，与的函数关系式为 ；
方案二中，当时，与的函数关系式为 ，
当时，与的函数关系式为 ；
（2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场演唱会门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

24．（10分）如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分．
（1）求证：是的切线；（2）若，，求的值．

25．（12分）如图，已知抛物线上点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，，点为抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接．
初步探究（1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是 ；与的位置关系为 ．
探索发现（2）当点在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
拓展延伸（3）如图③，连接，若，，则的长为 ．
2025年青海省西宁市朝阳学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、单选题（共24分）
1．的相反数是
A．2023B．C．D．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
3．9的算术平方根是
A．B．C．3D．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：．
4．若代数式有意义，则实数的取值范围是
A．B．C．D．且
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
5．如图所示的几何体的俯视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：．
故选：．
6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，
，
，，，
点坐标为，．
故选：．
8．如图①，点为矩形边上一个动点，运动路线是，设点运动的路径长为，，图②是随变化的函数图象，则矩形对角线的长是
A．B．6C．12D．24
【解答】解：当点运动到点处时，①，
此时，②，
联立①②并解得：，
则，
故选：．
二、填空题（共20分）
9．比较大小： ．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
10．分解因式： ．
【解答】解：原式，
，
故答案为：．
11．将一个长方形纸片按如图方式折叠，若，则 70 ．
【解答】解：如图：
折叠，
，
，
，
，
故答案为：70．
12．已知是方程的一个根，则代数式 6 ．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：6．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 0（答案不唯一） （写出一个满足条件的值）．
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：0（答案不唯一）．
14．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为 ．
【解答】解：小球沿着坡面向上前进了假设到处，过作，
，
，
设，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
故答案为：．
15．用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 10 ．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
16．如图，小玲家在某24层楼的顶楼，对面新建了一幢28米高的图书馆，小玲在楼顶处看图书馆楼顶处和楼底处的俯角分别是，，则两楼之间的距离是 米．
【解答】解：如图，过点作，延长交于点，
设．
由题意知，在中，，
．
在中，，
，
，
，
解得（米，
即两楼间的距离为米．
故答案为：．
17．矩形中，，．点在矩形的内部，点在边上，满足，若是等腰三角形，则的长为 或3 ．
【解答】解：四边形为矩形，
，
，
当时，，
，
，即，
解得，，
当时，点为的中点，
，
故答案为：或3．
18．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 3 ．
【解答】解：延长交轴于点，
轴，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，轴，点在函数的图象上，
，
四边形的面积等于．
故答案为：3．
三、解答题（共76分）
19．（6分）计算：．
【解答】解：
．
20．（6分）先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【解答】解：
，
是满足条件的合适的非负整数且，，
，
当时，原式．
21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线、交于，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
．
22．（10分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；．长征会师胜利之旅（会宁县）；．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽到卡片的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片的结果有1种，
两人都抽到卡片的概率是．
23．（12分）2015“两相和”杯群星演唱会在我市体育馆进行，市文化局、广电局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张，总费用为（元．
方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用广告赞助费门票费）
方案二：直接购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
（1）方案一中，与的函数关系式为 ；
方案二中，当时，与的函数关系式为 ，
当时，与的函数关系式为 ；
（2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场演唱会门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？
【解答】解：（1）方案一：单位赞助广告费8000元，该单位所购门票的价格为每张50元，则；
方案二：当时，门票单价为元，则；
当时，设解析式为．
将，代入，
得，解得，
所以．
故答案为；；；
（2）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张门票．
①当时，
，
解得（不合题意，舍去）；
②当时，
，
解得，
则．
答：甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张．
24．（10分）如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，且，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
25．（12分）如图，已知抛物线上点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，，点为抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线上点，的坐标分别为，，
，
，
抛物线的解析式为．
令，则，
或，
，．
（2）抛物线上存在点，使得，的横坐标为．理由：
点，的坐标分别为，，，，
，，，
．
点为抛物线上的点，
，
，等底的三角形的面积比等于高的比，
△的边上的高为，
或，
或．
综上，抛物线上存在点，使得，的横坐标为或．
26．（12分）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接．
初步探究
（1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是 ；与的位置关系为 ．
探索发现
（2）当点在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图③，连接，若，，则的长为 ．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
．
故答案为：，；
（2）如图1，，理由如下：
由（1）可得，
，
，
如图2，，理由如下：
四边形是正方形，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
；
（3）如图3，△△，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：3．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
B
B
A