2025年中考数学一模试卷

这是一份2025年中考数学一模试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．未来的生活中，将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．如图，该纸杯的主视图是
A． B． C． D．
3．下列运算结果是正数的是
A．B．C． D．
4．某超市举办购物抽奖活动，在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸出一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．小明随机摸出一个球，获得一等奖的概率是
A．B．C． D．
5．数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是
A．私家车的车流量比公交车的车流量稳定
B．私家车的车流量的平均数较大
C．私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值
D．私家车与公交车的车流量的变化趋势相同

6．小夏在课堂练习中做了以下5道题：①；②；③；④；⑤．其中做对的有
A．4个B．3个C．2个 D．1个
7．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交对角线于点，交，于点，，连接，，．下列说法错误的是
A．B．△的周长等于6
C．D．四边形是菱形
8．抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴是直线，若，则下列结论中：①；②当时，；③若为任意实数，则；④当0≤x≤3时，有最大值是0．其中所有正确结论的序号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．的相反数是 ．
10．分解因式： ．
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 ．（写出一个即可）
12．九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 ．
13．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ．

14．如图，在四边形中，，，，，，则的值是 ．
15．如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，△的面积为5，则的值为 ．

17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
18．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
三、解答题（共76分．）
19．（8分）计算．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求反比例函数的解析式；（2）结合图象请直接写出不等式的解集；（3）若点在轴上，且△的面积为12，请直接写出点的坐标．

22．（8分）某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），并将成绩分为四个组；；；进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分．下面给出了部分信息：
初三甲班20名学生的竞赛成绩为：61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100．
初三乙班20名学生的竞赛成绩在组的是：
82，86，86，86，87，88，89，89．
初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ；
（2）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名满分的学生进行读书心得分享．其中初三甲班满分的两名学生是一男一女，初三乙班满分的三名学生是一男两女，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求出所挑选学生恰好是一名男生一名女生的概率．
23．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
24．（10分）如图，是△的外接圆，经过圆心，且，垂足为点，与相切，切点为点，过点作交于点，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，，则的半径长为 ．

25．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点，对称轴是直线．（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；（2）求四边形的面积；（3）在线段上是否存在一点，使△与△相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）综合与实践【问题呈现】
（1）如图1，△和△都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】（2）如图2，△和△都是等腰直角三角形，，连接，，则 ．
【拓展提升】（3）如图3，△△，，连接，，若．
①求的值；②延长交于点，则 ．
2025年数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.）
1．未来的生活中，将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：．
2．如图，该纸杯的主视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，可得选项的图形．
故选：．
3．下列运算结果是正数的是
A．B．C．D．
【解答】解：．，是负数，不符合题意；
．，是负数，不符合题意；
．，是负数，不符合题意；
．，是正数，符合题意；
故选：．
4．某超市举办购物抽奖活动，在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸出一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．小明随机摸出一个球，获得一等奖的概率是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，
获得一等奖的概率是．
故选：．
5．数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是
A．私家车的车流量比公交车的车流量稳定
B．私家车的车流量的平均数较大
C．私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值
D．私家车与公交车的车流量的变化趋势相同
【解答】解：由统计图可知：
公交车的车流量比私家车的车流量稳定，故选项不符合题意；
私家车的车流量的平均数较大，故选项符合题意；
私家车与公交车的车流量不在同一时间段达到最小值，故选项不符合题意；
私家车与公交车的车流量的变化趋势不相同，私家车先升后降再升，公交车呈下降趋势，故选项不符合题意；
故选：．
6．小夏在课堂练习中做了以下5道题：①；②；③；④；⑤．其中做对的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①，故①正确；
②，故②不正确；
③，故③正确；
④，故④不正确；
⑤，故⑤不正确；
所以，其中做对的有2个，
故选：．
7．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交对角线于点，交，于点，，连接，，．下列说法错误的是
A．B．△的周长等于6
C．D．四边形是菱形
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
根据作图可知：垂直平分，
，，故选项正确；
点为的对称中心，
，，
△的周长，故选项正确；
，
△△，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
四边形是菱形，故正确；
故选：．
8．抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴是直线，若，则下列结论中：①；②当时，；③若为任意实数，则；④当时，有最大值是0．其中所有正确结论的序号是
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
【解答】解：由题意可知，抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，对称轴在轴的右侧，
，，，
．
故①正确．
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
又抛物线开口向上，
当时，，
故②正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
函数的最小值为，
若为任意实数，则，
，
故③正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，，
在内，当时，有最大值是0，
故④正确．
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上．）
9．的相反数是 ．
【解答】解：的相反数是．
故答案为：．
10．分解因式： ．
【解答】解：，故答案为：．
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
取，
故答案为：．
12．九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 ．
【解答】解：，
该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
13．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，．
，
，
．
，
．
故答案为：．
14．如图，在四边形中，，，，，，则的值是 6 ．
【解答】解：由题知，
，
．
又，
，
，
．
在△中，
，
，
．
故答案为：6．
15．如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：两个小正方形的边长分别为和，
大正方形的边长为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分面积为．
故答案为：．
16．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，△的面积为5，则的值为 ．
【解答】解：，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：．
17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为 或 ．
【解答】解：△是“准直角三角形”，
或，
当，
而，
，
，
，
当，
，
，
，
解得，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
18．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
【解答】解：过点作轴于点，如图，
点、，
，．
线段平移得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
．
，
．
，
，，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21、22题每小题8分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题8分，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．）
19．（8分）计算．
【解答】解：原式
．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）结合图象请直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴上，且△的面积为12，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将代入，
得，
，
把代入得，
反比例函数的解析式为；
（2）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，
点为，
把点代入反比例函数，即，
点坐标为，
根据函数图象及列函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或；
（3）
如图所示，与轴交于点，
在中，令，得，
直线与轴交点，
已知，，根据三角形面积公式，
，，
，
或，
点的坐标为或．
22．（8分）某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），并将成绩分为四个组；；；进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分．下面给出了部分信息：
初三甲班20名学生的竞赛成绩为：
61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100．
初三乙班20名学生的竞赛成绩在组的是：
82，86，86，86，87，88，89，89．
初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 79 ， ；
（2）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名满分的学生进行读书心得分享．其中初三甲班满分的两名学生是一男一女，初三乙班满分的三名学生是一男两女，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求出所挑选学生恰好是一名男生一名女生的概率．
【解答】解：（1）初三甲班成绩中79出现的次数最多，
初三甲班成绩的众数，
初三乙班成绩在、组的人数和为（人，
所以初三乙班成绩的第10、11个数据分别为86、87，
所以初三乙班成绩的中位数为．
故答案为：79、86.5；
（2）列表如下：
共有6种等可能的情况，其中抽到一男一女的有3种结果，
．抽到一男一女的概率．
23．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元，
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为 ，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
24．（10分）如图，是△的外接圆，经过圆心，且，垂足为点，与相切，切点为点，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，，则的半径长为 ．
【解答】（1）证明：，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
，过圆心，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形；
（3）解：连接并延长，交于点，连接，如图，
则为的直径，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
的半径长为．
故答案为：．
25．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）在线段上是否存在一点，使△与△相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把，代入，得，
解得
抛物线的函数表达式为；
；
；
（2）设直线的解析式为，把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当 时，
与直线的交点，
，，
，
，
，当时，解得，，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）存在，理由：
由点、的坐标得，，
当△与△相似时，存在△△或△△，
则或，即或，
解得：或，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，
当时，则，
解得：（不合题意的值已舍去），
当时，同理可得，，
即的坐标为或．
26．（12分）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，△和△都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，△和△都是等腰直角三角形，，连接，，则 ．
【拓展提升】
（3）如图3，△△，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
【解答】（1）证明：△和△是等边三角形，
，，，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）△和△都是等腰直角三角形，，
，，，
，
，，
，
△△，
．
故答案为：；
（3）①，，
设，则，
，
．
△△，，
，，
，，
，
△△，
．
②设，交于点，如图，
△△，
，
，
，
．
故答案为：．
班级
初三甲班
初三乙班
平均数
85
85
中位数
88
众数
86
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D．
B
B
C
C
D
班级
初三甲班
初三乙班
平均数
85
85
中位数
88
众数
86
甲乙
男
女
男
男男
女男
女
男女
女女
女
男女
女女
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元