2025年中考数学一模试卷

这是一份2025年中考数学一模试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题 19．计算等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数中，是负有理数的是
A．0B．C．D．2
2．下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．数轴上点表示2，则与点的距离为3个单位长度的点表示的数是
A．5 B．5或 C．或 D．5或
4．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为
A．B．C．D．
5．某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车，只清理了一半垃圾，为了加快进步，再调用乙车，两车合作清理完另一半垃圾，设乙车单独清理全部垃圾的时间为，根据题意可列出方程为
A． B． C． D．
6．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A． B． C． D．
7．如图，在△中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则△的高的长度为
A．3B．4C．D．5
8.如图，△内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为
A．5B．C．D．
(8) (12) (14)
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．点在轴上，则点的坐标是 ．
11．因式分解： ．
12．如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是 ．
13．若，为方程的两个实数根，则的值为 ．
14．如图，、分别与圆相切于、两点，点为圆上一点，连接、，若，则的度数为 ．
15．如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为
16．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，则点的对应点的坐标是 ．

17．如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为 ．
18．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则 ．
三、解答题 19．（7分）计算：．
20．（7分）解不等式组2x−5≤3(x−1)x+72>4x
21．（7分）先化简，再求值：，其中．
22．（7分）如图，是△的角平分线，过点作交于点，交于点．（1）求证：四边形为菱形；（2）如果，，，求菱形的边长．

23．（8分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．（1）本次抽取调查学生共有 人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为 人；（2）请将以上两个统计图补充完整；（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从，，，四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．

24．（8分）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长度．

25．（10分）某旅游纪念品商店销售，两种商品，已知销售一件种商品和两件种商品可获利80元，销售三件种商品和一件种商品可获利90元．
（1）求销售一件种商品和一件种商品各获利多少元？
（2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种商品共30件，其中种商品数量不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种商品件．
①求与的函数关系式；
②利用函数图象性质，当购进种商品多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？
26．（10分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴，垂足为点，求的最大值并求出此时点的坐标．

27．（12分）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．
数学发现：
（1）如图1，当时， ，如图2，当时， ；
初步探究：
（2）如图3，当边经过点时，求的长；
（3）如图4，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积．
2025年中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．下列各数中，是负有理数的是
A．0B．C．D．2
【解答】解：根据题意可知，，是负有理数．
故选：．
2．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，此选项错误；
、，此选项正确；
、，此选项错误；
、，此选项错误；
故选：．
3．数轴上点表示2，则与点的距离为3个单位长度的点表示的数是
A．5B．5或C．或D．5或
【解答】解：若该点在点的左边，则，
若该点在点的右边，则．
故与点的距离等于3的点表示的数是或5．
故选：．
4．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒六个节气在冬季，
抽到的节气在冬季的概率．
故选：．
5．某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车，只清理了一半垃圾，为了加快进步，再调用乙车，两车合作清理完另一半垃圾，设乙车单独清理全部垃圾的时间为，根据题意可列出方程为
A．B．C．D．
【解答】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，所以方程为：．
故选：．
6．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
二次函数的图象的顶点为，故、不符合题意；
当时，，
一次函数的图象过点，故不符题意，符合题意．
故选：．
7．如图，△内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为
A．5B．C．D．
【解答】解：如图，连接，
是的直径，
，
由圆周角定理得：，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
8．如图1，在△中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则△的高的长度为
A．3B．4C．D．5
【解答】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
故答案为：．
10．点在轴上，则点的坐标是 ．
【解答】解：点在轴上，
，
，
点的坐标是，
故答案为：．
11．因式分解： ．
【解答】解：原式，
故答案为：．
12．如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是 ①②③ ．
【解答】解：①由，得到，本选项符合题意；
②由，得到，本选项符合题意；
③由，得到，本选项符合题意；
④由，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
13．若，为方程的两个实数根，则的值为 2 ．
【解答】解：，为方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：2．
14．如图，、分别与圆相切于、两点，点为圆上一点，连接、，若，则的度数为 ．
【解答】解：连接，，
、分别与圆相切于、两点，
，
，
；
故答案为：．
15．如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为
【解答】解：，平分，
，
于点，于点，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，则点的对应点的坐标是 或 ．
【解答】解：如图所示，
当顺时针旋转时，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在△和△中，
，
△△，
，．
点的坐标为，
，，
点的坐标为．
同理可得，当逆时针旋转时，点的坐标为，
所以点的坐标为或．
故答案为：或．
17．如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为 ．
【解答】解：如图所示，过点作于点，
由题意知，，，
则，
，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：．
18．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则 ．
【解答】解：过作轴，过作轴，垂足分别为，，
点为反比例函数图象上的一点，点在反比例的图象上，
，
，
，
△△，
，即，
（负值舍去），
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题7分，第25、26题每小题7分，第27题12分，共76分．解答时将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19．（7分）计算：．
【解答】解：
．
20．（7分）解不等式组．
【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．
21．（7分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
；
当时，原式．
22．（7分）如图，是△的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果，，，求菱形的边长．
【解答】证明：（1），，
四边形是平行四边形，
是△的角平分线，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于，
，，
，
由（1）得：四边形是菱形，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
即菱形的边长为．
23．（8分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有 60 人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为 人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从，，，四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查学生共有（人．
估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人．
故答案为：60；500．
（2）类的人数为（人．
扇形统计图中的百分比为．
补全两个统计图如图所示．
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有，，，，，，，，，，，，共12种，
两人恰好选择不是同一类的概率为．
24．（8分）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接，
点是的中点，
，
，
又，
，
，
，
又于点，
于点，
是的半径，
为的切线；
（2）解：设半径为，
在△中，，
，
解得：，
，
．
25．（10分）某旅游纪念品商店销售，两种商品，已知销售一件种商品和两件种商品可获利80元，销售三件种商品和一件种商品可获利90元．
（1）求销售一件种商品和一件种商品各获利多少元？
（2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种商品共30件，其中种商品数量不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种商品件．
①求与的函数关系式；
②利用函数图象性质，当购进种商品多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1），已知销售一件种商品和两件种商品可获利80元，销售三件种商品和一件种商品可获利90元．设每销售一件种商品获利元，每销售一件种商品获利元，
由题意得：，
解得：．
答：每销售一件种商品获利20元，每销售一件种商品获利30元；
（2）①，即；
②，
随的增大而减小，
由题意知，
当时，最大，
（元，
答：当购进种商品10件时，商店可获得最大利润800元．
26．（10分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴，垂足为点，求的最大值并求出此时点的坐标．
【解答】解：（1）将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式；
（2），，
直线的解析式为，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为4，此时．
27．（12分）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．
数学发现：
（1）如图1，当时， 60 ，如图2，当时， ；
初步探究：
（2）如图3，当边经过点时，求的长；
（3）如图4，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积．
【解答】解：（1）如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，
，，
，
，
△是等边三角形，
；
如图2，由旋转的性质可得：，，
在△中，根据勾股定理可得：
；
故答案为：60，；
（2）由旋转的性质可得：，，，
四边形和都是矩形，
，，，
，，
在△中，根据勾股定理可得：
，
，
在△中，根据勾股定理可得：
，
的长为；
（3）四边形的面积为60．理由如下：
如图4，连接，
由旋转的性质可得：，，，
四边形和都是矩形，
，，
点落在的延长线上，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
四边形的面积为60．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
B
D
D
B