2025年中考数学一模试卷

这是一份2025年中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣23的绝对值是（ ）
A．23B．﹣23C．123D．−123
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知AB∥CD．若∠1＝105°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
4．（3分）不等式2x+15＞1的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜4D．x＞4
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，使得CE，AB交于点F，则AF的长为（ ）
A．23B．3C．2D．3
6．（3分）若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝xB．y＝2xC．y＝﹣2xD．y=12x
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长DC至点E，使得CE＝1，连接AE交BC于点F，则BF长为（ ）
A．4B．245C．5D．265
8．（3分）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x﹣9图象的顶点到x轴的距离最小时，该二次函数图象与x轴两交点之间的距离为（ ）
A．10B．8C．6D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）实数a在数轴上对应的点如图所示．若a+b＜0，则整数b的值可以为 ．
10．（3分）算筹是我国古代的计算方法之一，纵式表示一到五时，竖放的每一根代表一，表示六到九时，横放一根代表五，其余算筹竖放在下面：横式则相反，在表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示的两个框内的算筹所表示的两位数、三位数分别为方程的一次项系数及常数项，则推算x表示的数为 ．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AE，CE是⊙O的弦，且点C，E在AB异侧，D是BC上一点，连接CO，DO，BD．若∠COD＝62°，则∠B﹣∠E的度数为 ．
12．（3分）已知A（2，n）是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，将点A向下平移5个单位长度得到点B．若点B恰好落在反比例函数y=−kx的图象上，则k的值为 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝2CD＝4，∠B+∠C＝90°，E为BC的中点，连接AE，DE．若△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，则BC的长度为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：2×6−27+(−4)0．
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣2y（2y+x），其中x=−1，y=12．
16．（5分）解分式方程：xx+3−39−x2=1．
17．（5分）如图，已知线段AB，请用尺规作图法，求作一个四边形，使得以点A，B，C、D为顶点的四边形是正方形，且点C在线段AB下方．（作出符合题意的一个正方形即可，保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC和△DEA中，点C在边AE上，AD∥BC，∠E＝∠B，BC＝AE．
求证：AC＝AD．
19．（5分）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片．
（1）甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率．
20．（5分）某校组织学生在红色文化教育实践基地开展植树活动，本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，其中杨树是松树的2倍，柳树比杨树的4倍少10棵，求杨树、柳树各栽种了多少棵？
21．（6分）紫云楼始建于唐开元十四年，是大唐芙蓉园内的标志性建筑，在其楼前有一高为3m的博山炉（如图①）．假期小明和小华来大唐芙蓉园游玩，想利用所学的知识测量紫云楼与傅山炉的高度差，测量示意图如图②所示．小明在点A处观察到博山炉CD的炉顶D恰好挡住了紫云楼EF（即B，D，F三点共线），此时小华测得AC＝1m，接着小明从点A向前走2.6m到达点G处，利用测倾器测得紫云楼EF楼顶F的仰角为55°，已知小明的眼睛到地面的距离AB＝1.7m，测倾器GH＝1.7m，点A，C，G，E在同一条直线上，且AB⊥AE，CD⊥AE，HG⊥AE，EF⊥AE，请根据以上数据求紫云楼与博山炉的高度差．（结果保留整数参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
22．（7分）太阳能光伏板是将太阳能转化为电能，并将电能储存起来的装置．某市政部门计划在路灯上安装一种智能太阳能光伏板，已知该太阳能光伏板某日的发电量y（kW•h）与日照时间x（h）之间的关系如图所示．
（假设早上8：00开始有光照）
（1）求AB段y与x之间的函数关系式；
（2）该市政部门规定每日18：00（即日照10h后）打开路灯，次日的6：00关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为0.35kW•h，试判断该太阳能光伏板当日提供的电量能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响）
23．（7分）学生心理健康是学生健康成长、全面发展的重要目标．为促使学生关注心理健康状况，某校计划选拔心理健康直传员，有20名学生报名参加．报名的学生需参与自我评估、心理面谈、心理健康评定三项测试，每项测试均由五位心理老师打分（满分100分），取十均分作为该项的测试成绩，再将自我评估、心理面谈、心理健康评定按2：4：4的比例计算出每个人的总评成绩（总评成绩用x表示），并将总评成绩分为A（60≤x＜70），B（70≤x＜80），C（80≤x＜90），D（90≤x≤100）四个等级．小红和小亮的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图如图：
（1）这20名学生的总评成绩的中位数落在 等级；
（2）求小亮的总评成绩a的值；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名宣传员．试分析小红、小亮能否入选，并说明理由．
24．（8分）如图，AB，BC是⊙O的弦，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC，过点A作AE⊥AB交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F，交DA的延长线于点G，连接CE．
（1）求证：∠CEF＝∠G；
（2）若EF＝5，CF＝3，求AB的长．
25．（8分）眼镜（如图①）是用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．两个眼镜片所在镜框下半部分轮廓可近似看作两个形状相同且对称的两段抛物线．已知镜框最低点距中梁CD的垂直距离EM，BN均为2.56cm，镜框最低点之间的水平距离EB为8cm，中梁CD的宽度为1.6cm，点F，M，D，C，N，A在同一水平线上，以EB所在水平方向为x轴，过BE中点且垂直BE的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线FED的函数表达式；
（2）已知长时间佩戴大镜框可能导致鼻梁或耳朵不适．根据小明的瞳距可知，镜框的跨度（A与F的间距）在12～14cm内佩戴较为舒适，那么此副镜框对于小明来说是否合适，请说明理由．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是AD上一点，且AE＝1，过点E的直线与BC交于点F．若EF平分菱形ABCD的面积，求四边形ABFE的周长；
问题解决
（2）某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地ABCD中，AB＝80m，BC＝100m，现规划在草地上△ABP区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内，且tan∠APB＝2，为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，左侧为研究区，右侧为采样区，且P到AD，AB的距离相等，直线l分别交AD，BC于点M，N，是否存在满足要求的点M，N，若存在，求出此时AM，CN的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，P，M，N，C，D在同一平面内）
2025年中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣23的绝对值是（ ）
A．23B．﹣23C．123D．−123
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣23的绝对值是：23．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意，
B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意，
C是轴对称图形，也不是中心对称图形，则C不符合题意，
D既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意，
故选：D．
3．（3分）如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知AB∥CD．若∠1＝105°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出∠1＝∠ABD＝105°，再根据邻补角的定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABD，
∵∠1＝105°，
∴∠ABD＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠ABD＝180°﹣105°＝75°，
故选：B．
4．（3分）不等式2x+15＞1的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜4D．x＞4
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解法计算即可．
【解答】解：去分母得：2x+1＞5，
移项、合并同类项得：2x＞4，
解得：x＞2．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，使得CE，AB交于点F，则AF的长为（ ）
A．23B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】根据将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，可得∠BCE＝30°，故∠ACF＝60°，从而∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠A＝90°，即得CF=12AC＝2，由勾股定理知AF=AC2−CF2=23．
【解答】解：如图：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，
∴∠BCE＝30°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠A＝90°，
∴CF=12AC=12×4＝2，
∴AF=AC2−CF2=42−22=23；
故选：A．
6．（3分）若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝xB．y＝2xC．y＝﹣2xD．y=12x
【答案】B
【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），根据已知条件列出关于m的方程式，进而得出答案．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
则y1＝km，y2＝k（m+2），
∵y2﹣y1＝4，
∴k（m+2）﹣km＝4，
∴2k＝4，
∴k＝2．
∴正比例函数的解析式为y＝2x．
故选：B．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长DC至点E，使得CE＝1，连接AE交BC于点F，则BF长为（ ）
A．4B．245C．5D．265
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，AD∥BC，证明△CFE∽△DAE，得出CFAD=CEDE，求出CF，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，AD∥BC，
∵CE＝1，
∴DE＝1+4＝5，
∵AD∥BC，
∴△CFE∽△DAE，
∴CFAD=CEDE，
∴CF6=15，
∴CF=65，
∴BF＝BC﹣CF＝6−65=245．
故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x﹣9图象的顶点到x轴的距离最小时，该二次函数图象与x轴两交点之间的距离为（ ）
A．10B．8C．6D．3
【答案】C
【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为（2−m2，−9−(2−m)24），若二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x﹣9图象的顶点到x轴的距离最小，则|−9−(2−m)22|最小，即|9+(2−m)22|最小，可得m＝2，则二次函数的解析式为y＝x2﹣9．令y＝0，可得x1＝3，x2＝﹣3，进而可得答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣（2﹣m）x﹣9=(x−2−m2)2−9−(2−m)24，
∴抛物线的顶点坐标为（2−m2，−9−(2−m)24），
若二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x﹣9图象的顶点到x轴的距离最小，则|−9−(2−m)22|最小，
即|9+(2−m)22|最小，
∴m＝2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9．
令y＝0，得x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴该二次函数图象与x轴两交点之间的距离为|3﹣（﹣3）|＝6．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）实数a在数轴上对应的点如图所示．若a+b＜0，则整数b的值可以为 ﹣3（答案不唯一） ．
【答案】﹣3（答案不唯一）．
【分析】根据数轴可知a＝2，然后根据a+b＜0，可以求得b的取值范围，从而可以写出符合题意的b的一个值．
【解答】解：由数轴可得，a＝2，
∵a+b＜0，
∴2+b＜0，
∴b＜﹣2，
∴b的值可以为﹣3，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
10．（3分）算筹是我国古代的计算方法之一，纵式表示一到五时，竖放的每一根代表一，表示六到九时，横放一根代表五，其余算筹竖放在下面：横式则相反，在表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示的两个框内的算筹所表示的两位数、三位数分别为方程的一次项系数及常数项，则推算x表示的数为 3 ．
【答案】3．
【分析】根据图中的算筹，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：62x﹣186＝0，
解得：x＝3，
∴x表示的数为3．
故答案为：3．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AE，CE是⊙O的弦，且点C，E在AB异侧，D是BC上一点，连接CO，DO，BD．若∠COD＝62°，则∠B﹣∠E的度数为 31° ．
【答案】31°．
【分析】连接DE，由圆周角定理可得∠CED=12∠COD，∠AED＝∠B，据此可得出结论．
【解答】解：连接DE，
∵∠COD＝62°，
∴∠CED=12∠COD＝31°，
∵AD=AD，
∴∠AED＝∠B，即∠AEC+∠CED＝∠B，
∴∠B﹣∠AEC＝∠CED＝31°．
故答案为：31°．
12．（3分）已知A（2，n）是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，将点A向下平移5个单位长度得到点B．若点B恰好落在反比例函数y=−kx的图象上，则k的值为 52 ．
【答案】52．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点得出关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：∵A（2，n）是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，
∴k＝2n，
∵点A向下平移5个单位长度得到点B，
∴B（2，n﹣5），
∵点B恰好落在反比例函数y=−kx的图象上，
∴﹣k＝2（n﹣5），即k＝﹣2n+10，
∴﹣2n+10＝2n，
解得n=52．
故答案为：52．
13．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝2CD＝4，∠B+∠C＝90°，E为BC的中点，连接AE，DE．若△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，则BC的长度为 62 ．
【答案】62．
【分析】如图，过点C作CN∥AB，交AE的延长线于点N，连接DN，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，证明△ABE≌△NCE（ASA），计算DN＝25，再证明△AGE≌△EHD（AAS），则AG＝EH，EG＝DH，设DH＝x，CH＝y，证明△AGB∽△CHD，列比例式即可解答．
【解答】解：如图，过点C作CN∥AB，交AE的延长线于点N，连接DN，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，
∴∠B＝∠ECN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠CEN，
∴△ABE≌△NCE（ASA），
∴AE＝EN，CN＝AB＝4，
∵∠B+∠DCB＝90°，∠B＝∠ECN，
∴∠DCB+∠ECN＝90°，
∴∠DCN＝90°，
∵CD＝2，
∴DN=22+42=25，
∵△AED是以AD为斜边的等腰直角三角形，
∴∠AED＝90°，AE＝DE，
∴AE＝DE＝EN，
∴AD＝DN＝25，AE＝DE＝EN=10，
∵AG⊥BC，DH⊥BC，
∴∠AGE＝∠DHE＝90°，
∴∠EAG+∠AEG＝90°，
∵∠AEG+∠DEH＝90°，
∴∠DEH＝∠EAG，
∴△AGE≌△EHD（AAS），
∴AG＝EH，EG＝DH，
设DH＝x，CH＝y，
∵∠B+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠B，
∵∠AGB＝∠DHC＝90°，
∴△AGB∽△CHD，
∴ABCD=BGDH=AGCH，
∴42=BGx=AGy，
∴BG＝2x，AG＝2y＝EH，
∵BE＝CE，
∴3x＝3y，
∴x＝y，
在Rt△AGE中，AG2+EG2＝AE2，
∴（2y）2+x2＝（10）2，
∴x=2（负值舍），
∴BC的长度为62；
故答案为：62．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：2×6−27+(−4)0．
【答案】1−3．
【分析】利用二次根式的性质及运算法则，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝23−33+1
＝1−3．
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣2y（2y+x），其中x=−1，y=12．
【答案】x2﹣6xy，4．
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣2y（2y+x）
＝x2﹣4xy+4y2﹣4y2﹣2xy
＝x2﹣6xy，
当x＝﹣1，y=12时，原式＝（﹣1）2﹣6×（﹣1）×12=4．
16．（5分）解分式方程：xx+3−39−x2=1．
【答案】x＝4．
【分析】先变形，再方程两边同乘（x+3）（x﹣3）将分式方程化为整式方程，求解即可．
【解答】解：xx+3−39−x2=1，
方程可化为xx+3+3(x+3)(x−3)=1，
方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x（x﹣3）+3＝（x+3）（x﹣3），
解得x＝4，
检验：当x＝4时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以原分式方程的解是x＝4．
17．（5分）如图，已知线段AB，请用尺规作图法，求作一个四边形，使得以点A，B，C、D为顶点的四边形是正方形，且点C在线段AB下方．（作出符合题意的一个正方形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形在作出图形即可．
【解答】解：如图，正方形ABCD即为所求．
18．（5分）如图，在△ABC和△DEA中，点C在边AE上，AD∥BC，∠E＝∠B，BC＝AE．
求证：AC＝AD．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质求出∠DAE＝∠ACB，利用ASA证明△ABC≌△DEA，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
在△ABC和△DEA中，
∠B=∠EBC=EA∠ACB=∠DAE，
∴△ABC≌△DEA（ASA），
∴AC＝AD．
19．（5分）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片．
（1）甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 12 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率．
【答案】（1）12；（2）16．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）甲抽到的卡片上是化学变化的概率为12，
故答案为：12；
（2）将四张卡片分别记作A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的有2种，
所以甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率为212=16．
20．（5分）某校组织学生在红色文化教育实践基地开展植树活动，本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，其中杨树是松树的2倍，柳树比杨树的4倍少10棵，求杨树、柳树各栽种了多少棵？
【答案】杨树栽种了12棵，柳树栽种了38棵．
【分析】设松树栽种了x棵，则杨树栽种了2x棵，柳树栽种了（4×2x﹣10）棵，根据本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入2x及（4×2x﹣10）中，即可求出结论．
【解答】解：设松树栽种了x棵，则杨树栽种了2x棵，柳树栽种了（4×2x﹣10）棵，
根据题意得：x+2x+（4×2x﹣10）＝56，
解得：x＝6，
∴2x＝2×6＝12（棵），
4×2x﹣10＝4×2×6﹣10＝38（棵）．
答：杨树栽种了12棵，柳树栽种了38棵．
21．（6分）紫云楼始建于唐开元十四年，是大唐芙蓉园内的标志性建筑，在其楼前有一高为3m的博山炉（如图①）．假期小明和小华来大唐芙蓉园游玩，想利用所学的知识测量紫云楼与傅山炉的高度差，测量示意图如图②所示．小明在点A处观察到博山炉CD的炉顶D恰好挡住了紫云楼EF（即B，D，F三点共线），此时小华测得AC＝1m，接着小明从点A向前走2.6m到达点G处，利用测倾器测得紫云楼EF楼顶F的仰角为55°，已知小明的眼睛到地面的距离AB＝1.7m，测倾器GH＝1.7m，点A，C，G，E在同一条直线上，且AB⊥AE，CD⊥AE，HG⊥AE，EF⊥AE，请根据以上数据求紫云楼与博山炉的高度差．（结果保留整数参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】紫云楼与博山炉的高度差约为36.26m．
【分析】DC与BP交于点J，HG与BP交于点K，EF与BP交于点P，设PF＝x，则KP=xtan55°，BP＝2.6+xtan55°，利用相似比列出方程求出x值，即可得到两者的高度差．
【解答】解：如图，DC与BP交于点J，HG与BP交于点K，EF与BP交于点P，
设PF＝x，
∵tan55°=xKP，
∴KP=xtan55°，
∴BP＝2.6+xtan55°，
∵AB⊥AE，CD⊥AE，HG⊥AE，EF⊥AE，
∴GH∥PF，
∴△BKH∽△BPF，
∴BJDJ=BPPF，即13−1.7=2.6+xtan55°x，
∴11.3=2.6+x1.43x，
整理得：0.09x＝3.38，
x≈37.56，
∴37.56﹣1.3＝36.26（m）．
答：紫云楼与博山炉的高度差约为36.26m．
22．（7分）太阳能光伏板是将太阳能转化为电能，并将电能储存起来的装置．某市政部门计划在路灯上安装一种智能太阳能光伏板，已知该太阳能光伏板某日的发电量y（kW•h）与日照时间x（h）之间的关系如图所示．
（假设早上8：00开始有光照）
（1）求AB段y与x之间的函数关系式；
（2）该市政部门规定每日18：00（即日照10h后）打开路灯，次日的6：00关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为0.35kW•h，试判断该太阳能光伏板当日提供的电量能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响）
【答案】（1）AB段y与x之间的函数关系式为y＝0.4x+2；
（2）该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出日照时间10小时时该太阳能光伏板某日的发电量，再求出路灯12个小时的耗电量，比较即可．
【解答】解：（1）设AB段y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，2）和（5，4）代入解析式得：b=25k+b=4，
解得：k=0.4b=2，
∴AB段y与x之间的函数关系式为y＝0.4x+2；
（2）由（1）知AB段y与x之间的函数关系式为y＝0.4x+2，
当x＝10时，y＝0.4×10+2＝6，
0.35×12＝5.2（kW•h），
∵5.2＜6，
∴该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．
23．（7分）学生心理健康是学生健康成长、全面发展的重要目标．为促使学生关注心理健康状况，某校计划选拔心理健康直传员，有20名学生报名参加．报名的学生需参与自我评估、心理面谈、心理健康评定三项测试，每项测试均由五位心理老师打分（满分100分），取十均分作为该项的测试成绩，再将自我评估、心理面谈、心理健康评定按2：4：4的比例计算出每个人的总评成绩（总评成绩用x表示），并将总评成绩分为A（60≤x＜70），B（70≤x＜80），C（80≤x＜90），D（90≤x≤100）四个等级．小红和小亮的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图如图：
（1）这20名学生的总评成绩的中位数落在 C 等级；
（2）求小亮的总评成绩a的值；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名宣传员．试分析小红、小亮能否入选，并说明理由．
【答案】C（1）69，69，70；
（2）82分；
（3）小红不能入选，小亮能入选，理由见解析．
【分析】（1）分别根据中位数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可求解；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案；
【解答】解：（1）这20名学生的总评成绩按照由小到大排列，第10，11个数据都在C组，
故答案为：C；
（2）小亮的总评成绩a=82×2+80×4+84×42+4+4=82（分）；
（3）小红不能入选，小亮能入选，理由如下：
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，80分以上有11人，因为小红78分、小亮82分，
所以红不能入选，小亮能能入选．
24．（8分）如图，AB，BC是⊙O的弦，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC，过点A作AE⊥AB交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F，交DA的延长线于点G，连接CE．
（1）求证：∠CEF＝∠G；
（2）若EF＝5，CF＝3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AB的长是853．
【分析】（1）连接BE，由AE⊥AB交⊙O于点E，得∠BAE＝90°，则EB是⊙O的直径，由∠ECB＝∠ADB＝90°，证明CE∥DG，则∠CEF＝∠G；
（2）由切线的性质得FE⊥EB，则∠FCE＝∠FEB＝90°，可证明△FCE∽△FEB，则CEEB=EFBF=CFEF=35，所以CE=35EB，BF=53EF=253，则BC=163，由BC=45EB=163，求得EB=203，则CE＝4，OA=103，由BD＝CD=83，BO＝EO，得OD=12CE＝2，则AD=163，所以AB=BD2+AD2=853．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AE⊥AB交⊙O于点E，
∴∠BAE＝90°，
∴EB是⊙O的直径，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ECB＝∠ADB＝90°，
∴CE∥DG，
∴∠CEF＝∠G．
（2）解：∵FE与⊙O相切于点E，EB是⊙O的直径，
∴FE⊥EB，
∴∠FCE＝∠FEB＝90°，
∵∠F＝∠F，EF＝5，CF＝3，
∴△FCE∽△FEB，
∴CEEB=EFBF=CFEF=35，
∴CE=35EB，BF=53EF=53×5=253，
∴BC＝BF﹣CF=253−3=163，
∵BC=EB2−CE2=EB2−(35EB)2=45EB=163，
∴EB=203，
∴CE=35×203=4，OA=12EB=12×203=103，
∵BD＝CD=12BC=12×163=83，BO＝EO，
∴OD=12CE=12×4＝2，
∴AD＝OA+OD=103+2=163，
∴AB=BD2+AD2=(83)2+(163)2=853，
∴AB的长是853．
25．（8分）眼镜（如图①）是用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．两个眼镜片所在镜框下半部分轮廓可近似看作两个形状相同且对称的两段抛物线．已知镜框最低点距中梁CD的垂直距离EM，BN均为2.56cm，镜框最低点之间的水平距离EB为8cm，中梁CD的宽度为1.6cm，点F，M，D，C，N，A在同一水平线上，以EB所在水平方向为x轴，过BE中点且垂直BE的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线FED的函数表达式；
（2）已知长时间佩戴大镜框可能导致鼻梁或耳朵不适．根据小明的瞳距可知，镜框的跨度（A与F的间距）在12～14cm内佩戴较为舒适，那么此副镜框对于小明来说是否合适，请说明理由．
【答案】（1）抛物线FED的解析式为y=14（x+4）2；（2）此副眼镜对于小明来说不合适，理由见详解．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据点F的纵坐标为2.56，代入解析式建立方程14(x+4)2=2.56，解出x值，根据对称性质求出AF长与适合小明的镜框的跨度作比较即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意可知E（﹣4，0），D（﹣0.8，2.56），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）2，
将D（﹣0.8，2.56）坐标代入解析式得：a×（﹣0.8+4）2＝2.56，
解得a=14，
∴抛物线FED的解析式为y=14（x+4）2；
（2）由题意可知，点F的纵坐标为2.56，
把y＝2.56代入y=14（x+4）2得：14(x+4)2=2.56，
∴（x+4）2＝10.24，
解得x1＝﹣7.2，x2＝﹣0.8，
∴F（﹣7.2，2.56），
由对称性质可知A（7.2，2.56），
∴AF＝7.2×2＝14.4＞14，
此副眼镜对于小明来说不合适．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是AD上一点，且AE＝1，过点E的直线与BC交于点F．若EF平分菱形ABCD的面积，求四边形ABFE的周长；
问题解决
（2）某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地ABCD中，AB＝80m，BC＝100m，现规划在草地上△ABP区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内，且tan∠APB＝2，为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，左侧为研究区，右侧为采样区，且P到AD，AB的距离相等，直线l分别交AD，BC于点M，N，是否存在满足要求的点M，N，若存在，求出此时AM，CN的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，P，M，N，C，D在同一平面内）
【答案】（1）12+27.（2）存在满足要求的点M，N，此时AM＝CN＝30m．理由见解析．
【分析】（1）连接AC，交EF于点O，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质得到BG＝CG＝3，AG＝33，利用全等三角形的判定与性质得到AE＝CF，再利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论；
（2）连接AC，交MN于点O，过点B作BE⊥AP于点E，过点P作PF⊥AD于点F，延长FP，交BC于点G，利用角平分线的判定定理得到∠BAP＝∠DAP=12∠BAD＝45°，利用等腰直角三角形的性质得到AE＝BE＝402m，利用浙江省举行的边角关系定理和等腰直角三角形的性质定理得到AF，PF，设AM＝CN＝x m，则MF＝（60﹣x）m，NG＝（40﹣x）m，利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AC，交EF于点O，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°．
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AG⊥BC，
∴BG＝CG＝3，AG＝33，
∵EF平分菱形ABCD的面积，
∴EF经过菱形ABCD的中心，
∵菱形的中心为对角线的交点，菱形的对角线互相垂直平分，
∴点O为AC的中点，
∴OA＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AEO和△CFO中，
∠AEO=∠CFE∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF＝1，
∴BF＝BC﹣CF＝5，
∴GF＝2，
∵AG⊥BC，EH⊥BC，AD∥BC，
∴四边形AGHE为矩形，
∴GH＝AE＝1，EH＝AG＝33，
∴HF＝1，
∴EF=EH2+HF2=27，
∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝AB+BF+CF+EF＝6+6+27=12+27．
（2）存在满足要求的点M，N，此时AM＝CN＝30m．理由：
连接AC，交MN于点O，过点B作BE⊥AP于点E，过点P作PF⊥AD于点F，延长FP，交BC于点G，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝100m，
∵过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，
∴MN经过矩形ABCD的中心，
由（1）的方法可得：AM＝CN．
∵P到AD，AB的距离相等，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴∠BAP＝∠DAP=12∠BAD＝45°，
∵BE⊥AP，
∴AE＝BE=22AB＝402（m），
∵tan∠APB＝2=BEEP，
∴EP=12BE＝202（m），
∴AP＝AE+PE＝602（m），
∵PF⊥AD，
∴PF＝AF=22AP＝60（m），
∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AD，
∴四边形ABNGF，四边形DCGF为矩形，
∴FG＝AB＝80m，FD＝GC＝AD﹣AF＝40m，
∴PG＝FG﹣FP＝20m，
设AM＝CN＝x m，则MF＝（60﹣x）m，NG＝（40﹣x）m，
∵AD∥CB，
∴△MFP∽△NGP，
∴MFNG=FPPG=6020=3，
∴60−x40−x=3，
∴x＝30，
∴AM＝CN＝30（m）．
综上，存在满足要求的点M，N，此时AM＝CN＝30m．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
自我评估
心理面谈
心理健康评定
小红
84
75
78
78
小亮
82
80
84
a
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
B
A
B
B
C
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
自我评估
心理面谈
心理健康评定
小红
84
75
78
78
小亮
82
80
84
a