河北省邯郸市部分校2025届高三上学期高考模拟（二）（12月）数学试题（解析版）

这是一份河北省邯郸市部分校2025届高三上学期高考模拟（二）（12月）数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 第33届夏季奥运会在法国巴黎顺利举行，为此某校举办了“奥运知识知多少”的体育知识竞赛，其中高三（1）班6名参赛选手的成绩（单位：分）分别为：89，92，90，94，97，98.则这6名参赛选手成绩的中位数为（ ）
A. 92B. 93C. 94D. 92或94
【答案】B
【解析】将这6名参赛选手的成绩从小到大排列，得89，90，92，94，97，98，
故中位数为.
故选：B.
2. 已知集合，，若，则得取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，因为，所以，所以.
故选：D.
3. 曲线在轴右侧的各对称中心的横坐标由小到大排列构成一个数列，记数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】曲线的对称中心为，故，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.
故选：C
4. 已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，
结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”.
故选：A.
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为
，
所以.
故选：B.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
，
且，所以.
故选：D.
7. 中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记事件G：相邻两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.
对于事件G，包含的情况可分以下三类：
（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，
此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3=108种；
（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种；
（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+432+192=732种挂法，即.
当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：
（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；
（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+144=252种挂法，即，
故.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得，
因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，.
又，所以，
即，所以，所以8是的一个周期，
所以，
由，得.
由，得，
又，所以，
所以，即，所以，
所以8也是的一个周期，
所以，得，
所以，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，满足，，则（ ）
A. ，一定可以作为一组基底
B. 为定值
C. 当时，向量在上的投影向量为
D. 若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围为
【答案】BC
【解析】由，，得，，
对于A，由，得，解得，此时，不可以作为一组基底，A错误；
对于B，，故为定值2，B正确；
对于C，当时，，，
向量在上的投影向量为，C正确；
对于D，若向量，的夹角为钝角，则，且与不反向共线，
所以，且，解得，D错误.
故选：BC.
10. 如图，为圆锥的轴截面，B是底面圆周上异于点A，C的一动点，，，则（ ）
A. 的面积无最大值
B. 与平面不可能垂直
C. 当点B为的中点时，三棱锥的体积最大
D. 当点B为的中点时，二面角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】由，，可求得，，所以.
对于A，，当且仅当时取等号，故A错误；
对于B，若平面，平面，则，即，
从而，与矛盾，所以与平面不可能垂直，故B正确；
对于C，，
显然当点B为的中点时，取得最大值，
此时三棱锥的体积最大，故C正确；
对于D，如图，
作于点D，连接，，，因为点B为的中点，
由对称性可知，，即为二面角的平面角，
且，，，
由等面积法得，所以，
又，所以，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.某种信号的波形可以利用函数的图象近似地模拟，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的值域为
C. 直线与图象恰有5个交点
D. 当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为
【答案】AC
【解析】由题可得
，
所以
，所以是的一个周期，
令，即，
则，，解得，；
令，即，
则，，解得，，
结合周期性可取和，
若，则；
若，则.
综上所述，；
结合周期性可得的图象如图所示，
由图象可知，的最小正周期是，值域是，故A正确，B错误；
对于直线，当时，；
当时，，故当或时，直线与的图象没有交点；
当时，由图可知直线与的图象恰有5个交点，故C正确；
当，时，由图可知直线与的图象有8个交点，
设这8个交点的横坐标从小到大依次为，，，，，，，，
则，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复数范围内分解成一次因式的乘积：______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
过点P作平面于点D，则，
由，可知平分，
设与的交点为O，则，
所以，所以四边形是正方形，
故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体，
则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的一条直径，
设该外接球的半径为R，则，即，
则其表面积为.
故答案为：
14. 已知双曲线C：的左顶点、右焦点分别为A，F，C上的点M在第一象限，且，若，则C的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得
又，所以，
整理得，解得.
设双曲线的左焦点为则，
在中，由余弦定理得，
得，由，得，
整理得，所以，
所以C的离心率的取值范围是.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，，，点O，D分别为，的中点.
（1）求线段的长；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）连接，，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面平面.
因为为等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为D为的中点，所以；
（2）以点O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则
解得，令，得，故.
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为.
16. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.A市某手机大卖场统计了2024年前5个月该卖场AI手机月销量y（单位：万部）与月份t之间的关系，得到如下数据：
（1）根据上述数据可知y与t线性相关，试求出y关于t的经验回归方程，并预测该卖场2024年12月份AI手机的月销量；
（2）为刺激消费，A市出台了以下补贴政策：凡购买AI手机者，每人发放600元购机补贴.若A市甲、乙两市民近期购买AI手机的概率分别为，，其中，求该市对甲、乙两人补贴总金额的期望值的取值范围.
参考公式：经验回归方程为，其中，.
参考数据：，.
解：（1）由题意得，，，
所以，
则，
所以y关于t的经验回归方程为.
故可预测该手机大卖场2024年12月份AI手机的月销量为（万部）.
（2）设甲、乙两人中选择购买AI手机的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以，
所以，又，
所以，
故A市对甲、乙两人购买AI手机的补贴总金额期望值的取值范围为.
17. 已知的面积，点D在边上.
（1）若，，，求线段的长；
（2）若是锐角三角形，平分，求的取值范围.
解：（1）由，得，
所以，即，
又，所以.
由，则，
两边平方得，
即，
所以.
（2）由（1）知，，
因为平分，所以，
在中，由正弦定理，
可得，
因为是锐角三角形，
所以，则，
所以，则，所以，
故，则，
所以，
18. 已知直线过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点，当直线的斜率为1时，弦的长度为8.
（1）求C的方程；
（2）设C的准线与x轴的交点为D，求证：直线与关于x轴对称；
（3）已知点，直线，与C分别交于点P，Q，问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
解：（1）∵直线过焦点F且与C交于A，B两点，∴直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立直线与C的方程，
得，，
∴，，
则，
由题可知当时，，∴，
∴抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，，，，
∴，，
∴
，
∴，
∴直线与关于x轴对称.
（3）由题意可知直线的斜率不为0，
设，，
由（1）知，.
由题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
联立得，则，
∴，，∴，同理可得.
当直线的斜率存在且不为0时，直线的斜率也存在且不为0，则，
∴，
∴直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令，
得
，
∴直线过定点.
当直线的斜率不存在时，直线的斜率也不存在，则直线：，
取，，
则，，
∴直线：，过定点.综上，直线过定点.·
19. 定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Jhan Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）.
（1）分别判断函数与是否为其定义域上凹函数；
（2）若函数为上的凹函数，求m的取值范围；
（3）设数列中的各项均不小于1，证明：.
（1）解：的导函数为，
因为函数不是R上的增函数，
所以不是R上的凹函数.
的导函数为，
当时，令，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数是上的凹函数.
（2）由题可知，
设，则.
因为函数为R上的凹函数，所以为增函数，
所以，即恒成立.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故m的取值范围是.
（3）证明：设，因为，故，记，
由（1）知为定义域上的凹函数，所以由琴生不等式可知
，
所以.月份t
1
2
3
4
5
月销量y（单位：万部）
2.89
3.22
3.82
4.34
5.41