2024~2025学年河北省邯郸市部分学校高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河北省邯郸市部分学校高二上学期12月月考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册4.1，4.2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. 不存在B. 0C. D.
【答案】A
【解析】，即，则其斜率不存在，
故选：A．
2. 在空间四边形PABC中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A.
3. 已知数列，则是这个数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
【答案】B
【解析】数列，即数列，
由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以通项公式，
令，解得.
故选：B.
4. 两平行直线之间的距离为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】由题意即为直线，
所以两平行直线之间的距离为．
故选：C
5. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，若，则（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】由抛物线定义可得，即，
所以．
故选：B.
6. 如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（ ）
A. 点M的轨迹是圆
B. 点M的轨迹是椭圆且离心率为
C. 点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关
D. 点M的轨迹不能确定
【答案】B
【解析】设Mx,y，由于点M是线段AB上靠近A的三等分点，
设，，则，
即，故，
由，故，即，
整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，
故离心率为.
故选：B
7. 如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，
所以，，
如图所示，当直线过时，
将代入中，
故，
解得，
由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，
则，即，
解得，且劣弧对应的圆的半径为2，故劣弧对应的圆方程为，
当直线与劣弧相切时，由，解得舍），
结合图形可知，当时，直线与两段弧有4个交点，可排除B、D，
由，可排除A，
由，故的取值可能是．
故选：C．
8. 在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线的距离（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以点到直线的距离为，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设等差数列的前项和为．若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
．
故选：BD.
10. 如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（ ）
A. B.
C. 点P坐标为D. 点P的坐标为
【答案】BD
【解析】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为，
设抛物线C的准线与x轴的交点为Q，
在中，则，，
可得，解得，故A错误，B正确；
∵，则点P横坐标为，且点P在第一象限，
故点P的坐标为，故C错误，D正确．
故选：BD.
11. 已知双曲线C：，则（ ）
A. 双曲线C也叫等轴双曲线
B. 双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为
C. 若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为
D. 直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点
【答案】ACD
【解析】对于A，由双曲线C：，可得，则，可知A正确；
对于B，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为，故B错误；
对于C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，则，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C正确；
对于D，如下图，由双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，设，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，
联立方程，解得，点A的横坐标为，由中点坐标公式，，可知点A为线段BF的中点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.故答案为：
13. 设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
【答案】
【解析】由题意可得．
故答案为：
14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________．
【答案】
【解析】如图，连结，设，则，
在中，由余弦定理，得，
即，整理得：，
在中，由余弦定理，得，
即，
整理得：，
因此，而，则，即，
所以C的离心率．故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，且．
（1）求通项公式；
（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
解：（1）设的公差为，则解得
所以；
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为．
16. 已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
解：（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，
又圆的半径为2，点在圆上，有，
解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.

17. 已知抛物线C：y2=2pxp>0过点．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
解：（1）∵y2=2pxp>0过点，
∴，解得，
∴抛物线C：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为1,0，
设直线AB：，，，
由，得：，则，
则．
18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
（1）证明: 平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
解：（1）连接，，
则，
在中，因为，
则，
因为，，
所以，，
所以，
则，
又，、平面，
所以平面
（2）因为，为的中点，则，又平面，
以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则O0,0,0、、、、P0,0,1，
所以，，，，
，，，
，
设平面法向量为m=x1,y1,z1，则，
令，即，
设平面法向量为n=x2,y2,z2，则令，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以．
19. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.
解：（1）由是面积为的等边三角形，得，
所以，，从而，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意.
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得，
所以有，，
则 ，
即，化简得.
因为，所以有且.
原点到直线的距离为，的面积，
所以当最大时，的面积最大.
因为，而，
所以当时，取最大值为3，面积的最大值.
把代入，得，所以有，
即直线的方程为或.