河北省邯郸市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份河北省邯郸市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析），共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 直线， 已知抛物线， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. 3C. D.
3. 已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
4. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ）
A. 2023B. 2025C. 2026D. 2137
5. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 存在，使得
C. 直线过定点D. 直线过定点
10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B.
C. 与的公差相等D. 取得最小值时
11. 如图，在棱长为的正方体中，动点满足，其中，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥体积为定值
C. 若，则最小值为
D. 若，则直线一定不与平面垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆的半径为1，则______.
13. 已知双曲线：的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为______.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.
16. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点，为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，分别为的上、下顶点，四边形的面积为2，的离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知过的直线与交于，两点，且不过的任何一个顶点.
（ⅰ）若的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若点在轴上方，直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程.
19. 定义：已知数列前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．
（1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．
（2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
（3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．
2025~2026学年高二年级2月期末总结考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案.
【详解】因为直线方程为，故直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，又，即.
故选：A.
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式可求答案.
【详解】设的公比为，所以，因为公比为实数，所以，所以，所以.
故选：B.
3. 已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用点面距的向量公式求解即可.
【详解】由题意得，所以点到平面的距离.
故选：C.
4. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ）
A. 2023B. 2025C. 2026D. 2137
【答案】D
【解析】
【分析】应用数列的周期性计算求和.
【详解】由，得，，，
，所以，
所以是以3为周期的周期数列，
又，
所以.
故选：D.
5. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】应用平行线间距离公式结合几何法求出弦长.
【详解】由题意得圆心在直线：上，直线，二者之间的距离，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆所截得的弦长.
故选:C.
6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出直线的倾斜角，进而求出直线的方程，再逐次求出的坐标.
【详解】不妨设在轴上方，由抛物线定义得，所以，
所以直线倾斜角为，所以直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
令，得，则，
令，则变为，得，即点的横坐标为.
故选：A.
7. 已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求.
【详解】由，得，
当时，，
以上各式相乘，得，又，所以，
因为满足上式，所以，
因为，所以.
故选:A.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围.
【详解】由题意知，，关于原点对称，
不妨设点为第一象限内一点，则，，
又，，所以，，
记，因为为锐角三角形，
所以，，，
即，，，
解得，所以.
故选:D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 存在，使得
C. 直线过定点D. 直线过定点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D.
【详解】若，：，：，显然成立，
若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；
的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，
，所以过定点，故D错误.
故选：AC.
10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B.
C. 与的公差相等D. 取得最小值时
【答案】AD
【解析】
【分析】应用等差数列通项公式及下标和性质计算判断A，应用等差数列求和公式结合下标和性质判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，结合数列的正负判断D.
【详解】因为，，所以，，故公差，所以，故A正确；
又，所以，故B错误；
，则，所以也是等差数列，公差为，又，故二者的公差不相等，故C错误；
因为，所以，则取得最小值时，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，动点满足，其中，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则的最小值为
D. 若，则直线一定不与平面垂直
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先通过向量参数方程确定动点的轨迹，进而结合几何性质进行分析：A选项通过代入特定参数确定点位置并计算空间距离；B选项利用线面平行转化得到点到平面距离为定值，从而证明体积不变；C选项将向量条件转化为三点共线，通过几何特征求垂线段最短得到最小值；D选项通过构造特殊位置的反例判断命题不成立.
【详解】若，则点为的中点，易求，故A正确；
若，则点在线段上，易证，
因为平面，平面，所以平面，
又，故点到平面的距离不变，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
若，则，，三点共线，连接，，，
易知，所以当为的中点时，，最小，
此时，故C正确；
若，则点为棱上的点，当点与点重合，
即时，平面，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆的半径为1，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可.
【详解】原方程可化为标准方程得：，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知双曲线：的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】借助双曲线渐近线定义结合斜率定义即可得.
【详解】由渐近线的定义知，当的横坐标时，点无限接近于渐近线，
的斜率趋近于，当趋近于右顶点时，的斜率趋近于0，
所以的斜率的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；
【详解】由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆；
（2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积最小值.
【小问1详解】
由题意，圆心在直线上，可设，
因为圆过点，且过点，
可得，整理得，
所以，即，且半径
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，圆，圆心，半径，
则四边形的面积，
设，因为，
所以当时，，
此时四边形的面积最小，最小值为；
16. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公差为，根据求和公式求出，即可求出通项；
（2）求出，即可求出，从而求出的通项公式，即可得到，再由错位相减法计算可得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由题意得，，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
由题意得，所以，所以，
所以，
则.
所以，
两边同乘以3，得，
两式相减，得
，
所以.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点，为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先证明垂直关系，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面垂直；
（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求解平面的夹角.
【小问1详解】
证明：分别取，的中点，，连接，，易证，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，则即
令，得，，所以，
所以，
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量，则即
令，得，，所以，
设平面与平面的夹角为，则
，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，分别为的上、下顶点，四边形的面积为2，的离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知过的直线与交于，两点，且不过的任何一个顶点.
（ⅰ）若的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若点在轴的上方，直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根据面积列式结合离心率及计算求解；
（2）（ⅰ）设直线联立直线和椭圆得出韦达定理得出面积求解；（ⅱ）设直线联立方程组得出韦达定理，再计算斜率积求解参数得出直线方程.
【小问1详解】
记，由题意知，
解得，，所以的方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）得，，，因为直线的倾斜角等于，
所以的斜率为，所以的方程为，
由得，
设，，则，，
所以，，
所以的面积
.
（ⅱ）由题意知的斜率不为0且不过，点，故设的方程为，，，
由得，
则，且，，
因为，所以，，
所以
，
所以，所以的方程为，即.
19. 定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．
（1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．
（2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
（3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．
【答案】（1）“和完全平方数列”，理由见解析；
（2）存在，使得为“和完全平方数列”，理由见解析；
（3），.
【解析】
【分析】（1）由定义，验证得到，当时，，为“和完全平方数列”；
（2）当时，，设的前项和为，当时，，满足为“和完全平方数列”， 当时，不存在，使得，得到答案；
（3）设公差为，前n项和为，因为为完全平方数，故，，，分，两种情况，若，取，当为偶数时，推出矛盾，当为奇数时，举出反例，从而得到，即，故，设，则，当时，，又适合上式，即，.
【小问1详解】
为“和完全平方数列”，理由如下：
设的前n项和为，
显然，满足要求，
当时，
，
综上，为“和完全平方数列”；
【小问2详解】
存在，使得为“和完全平方数列”，理由如下：
当时，，
当时，，
设的前项和为，
则，满足要求，
因为，且，所以，且，
当时，当时，，此时，
满足为“和完全平方数列”，
当时，，
故，
不存在，使得，
综上，；
【小问3详解】
设等差数列的公差为，前n项和为，
因为为完全平方数，故，，，
若，则，若对于任意的，均为完全平方数，
则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数，
若为奇数，则不完全平方数，矛盾，
若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，
若，则，
若，取，则或，
当为偶数时，此时，均不是完全平方数，
当为奇数时，取，，其中为奇数，
故此时不是完全平方数，
故，即，故，设，则，
当时，，
又适合上式，即，.