2022-2023学年河北省邯郸市高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省邯郸市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．椭圆的短轴长是焦距的（    ）

A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程求出短轴长和焦距可得答案.

【详解】因为2233，所以，，，

则，，，，.

故椭圆的短轴长是焦距的倍.

故选：B

2．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.

【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，

所以，.

因为，，，所以，又SA=1，

所以空间的一个单位正交基底可以为.

故选：A

3．若数列的前n项和，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推公式和首项可求出结果.

【详解】因为，，

所以，则，

，则.

故选：C

4．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ）

A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米

【答案】A

【分析】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法可求出结果.

【详解】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），

依题意可得，

设该抛物线的方程为，

将A的坐标代入，得,

所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米.

故选：A

5．在等差数列中已知，，则的前17项和为（    ）

A．166 B．172 C．168 D．170

【答案】D

【分析】方法1：由等差数列的前n项和公式与等差数列的等和性计算可得结果；

方法2：由等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式的基本量计算可得结果.

【详解】方法1：∵为等差数列，

∴，∴，

∴的前17项和为.

方法2：∵为等差数列，设公差为，

∴，

解得，

∴.

故选：D.

6．设A是函数图象上一点，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义可求出结果.

【详解】设，则，

则函数的图象是双曲线的一部分.

因为，所以，是双曲线的焦点，

则，又，所以.

故选：B

7．已知数列为单调递增数列，且，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对一切正整数n恒成立，可求出结果.

【详解】因为数列为单调递增数列，所以对一切正整数n恒成立，

因为为增函数，所以，则.

故选：D

8．在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，则的重心到平面PAD（的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，直接建系，利用法向量，可求解.

【详解】设AC与BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，.

设平面PAD的法向量为，则令，得.

因为的重心G的坐标为，即，

所以，

故点G到平面PAD的距离为.

故答案为：C

二、多选题

9．已知 与圆没有公共点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】BC

【分析】根据两圆的位置关系，利用圆心距和半径之间的关系即可求得结果.

【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径；

圆心距，易知两圆相离或两圆内含；

可得或，解得，

又，所以且．

故选：BC

10．某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，按照名次，发放的奖金数由多到少依次成等差数列.已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（    ）

A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元

B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元

C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元

D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元

【答案】AD

【分析】建立等差数列模型，设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果.

【详解】设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，

等差数列的前n项和为，公差为d，

依题意可知，，

解得，，则，

故第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元，该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元.

故选：AD

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上任意一点（异于左右顶点），O为坐标原点，M，N分别为线段，的中点，若四边形PMON的周长为6，则（    ）

A．C的长轴长为3 B．C的离心率为

C． D．

【答案】BCD

【分析】A选项，结合三角形中位线定理，由四边形PMON的周长为6，可得；B选项，直接计算离心率即可；CD选项，利用，可判断选项正误.

【详解】A选项，如图，由，，，

可得，，，，

则四边形PMON是平行四边形，且四边形PMON的周长为，

则，得椭圆长轴为.故A错误.

B选项，因为，所以，则. 故B正确；

CD选项，因为P是C上异于左、右顶点的任意一点，

所以，，

得，，，

则，.故CD正确 .

故选：BCD.

12．若不是等比数列，但中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】对于ABD，直接取特定项验证即可；对于C，定义法可证为等比数列后即可判断.

【详解】对于A：若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列.故A正确；

对于B：若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列. 故B正确；

对于C：若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列. 故C错误；

对于D：若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列. 故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为______.

【答案】

【分析】根据斜率互为相反数得倾斜角互补即可解决.

【详解】因为直线与直线的斜率互为相反数，

所以它们的倾斜角互补，

所以直线的倾斜角为.

故答案为：

14．在正方体中，，，则异面直线BE与所成角的余弦值为______.

【答案】

【分析】以D为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，得，，利用空间向量的夹角公式可求出结果.

【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，

因为，，所以，，

所以，，

所以，

故异面直线BE与所成角的余弦值为.

故答案为：

15．若数列是等比数列且，，，则______.

【答案】

【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.

【详解】设等比数列的公比为q，则，

则，

当时，

.

因为也适合上式，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作轴的垂线，垂足分别为，，则的最小值为______，此时______.

【答案】         

【分析】联立直线方程与抛物线方程，从而利用韦达定理得到，再利用基本不等式求解即可.

【详解】联立与，得，

则，，，

则，所以，

当且仅当且，即，，即，或，时，等号成立，

所以，

此时，解得.

故答案为：；.

五、解答题

17．经过点且与直线相切的圆C的圆心在直线上.

(1)求圆C的方程；

(2)直线l：与圆C交于E，F两点，若，求k.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆心，半径为，根据圆心在直线上，得，再根据直线与圆相切列式求出可得圆C的方程；

（2）由，得，得点C到l的距离为，再根据点到直线的距离公式列式可求出.

【详解】（1）设圆心，半径为，

因为圆心在直线上，所以，即，，

因为圆C与直线相切，所以，

又圆C经过点，所以，

则，整理得，解得，

则圆心，半径，

故圆C的方程为.

（2）因为，所以.

设点C到l的距离为d，则，

又，则，解得.

18．在等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)若的公差大于0，求数列的前n项和.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据已知条件求出公差，再根据等差数列的通项公式可求出结果；

（2）讨论的奇偶，根据等差数列的求和公式可求出结果.

【详解】（1）因为，所以，

设公差为d，因为，

当时，，，

当时，，，

综上所述：或.

（2）由（1）知，当时，，

当n为偶数时，，

，

当n为奇数时，，

，

故.

19．已知椭圆的离心率为.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率求法解决即可；（2）得，运用错位相减法求和即可.

【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，

设椭圆的焦距为，

因为，

所以，，

又因为，

所以，

所以，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

所以，

所以.

所以数列的前项和.

20．如图，在直三棱柱中，，，且二面角为为45°.

(1)求棱AC的长；

(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；

（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.

【详解】（1）因平面ABC，平面ABC，则.

又，，平面，平面，

则平面.又平面，则，

故是二面角的平面角，则.

又，则.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.可得，，，.

设平面的法向量为，则，

取，得.

设平面的法向量为，则，

取，得

由，得平面与平面的夹角为60°，

故平面与平面的夹角的正切值为.

21．在数列中，，且.

(1)证明：，都是等比数列；

(2)求的通项公式；

(3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小；

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)，

【分析】（1）利用等比数列的定义证明；

（2）根据数列为等比数列，可写出通项；

（3）利用裂项相消和分组求和，求数列的前n项和，根据结果比较与的大小.

【详解】（1）证明：因为，且，所以，.

因为，

所以，，

则是首项为16公比为16的等比数列，是首项为4公比为16的等比数列；

（2）则，都是公比为16的等比数列，且，

所以是首项为4，公比也为4的等比数列，

故；

（3）因为，

所以.

因为，

所以，

所以.

【点睛】思路点睛：本题的难点在数列的前n项和，数列的通项经过化简后，分母是，即的模型，分子则配成的形式，从而达到裂项并且能够相消的目的.

22．已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l：上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N.

(1)证明：；

(2)若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)是，

【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，结合圆的知识可得，，设点，则，由，可得，即得，由相等弦长所对的圆心角相等，得，进而求解；

（2）设直线PF的方程为，由题意可得，联立方程组，结合韦达定理可得，，由题知，直线DR的方程为，令，化简即可求解.

【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，

因为直线l：为双曲线C：的准线，

根据双曲线的第二定义，可知，即，

即得.

连接AM，PM，NF.因为在圆P中，，，所以，.

由题易知右焦点，设点，则，整理得.

因为，

所以，所以.

在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，所以.

（2）由题知直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为.

因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则.

设，，，

联立方程组得，则，.

由题知，直线DR的方程为，

令，得

，

所以直线DR过定点.