2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期第二次月考（12月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期第二次月考（12月）数学检测试题（附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的斜率为（ ）
A．不存在B．0C．D．
2．在空间四边形PABC中，（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第11项
B．第12项
C．第13项
D．第14项
4．两平行直线之间的距离为（ ）
A．B．3C．D．
5．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ）
A．4B．C．8D．
6．如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（ ）
A．点M的轨迹是圆B．点M的轨迹是椭圆且离心率为
C．点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关D．点M的轨迹不能确定
7．如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
8．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（ ）
A．B．
C．点P的坐标为D．点P的坐标为
11．已知双曲线C：，则（ ）
A．双曲线C也叫等轴双曲线
B．双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为
C．若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为
D．直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点
三、填空题（本大题共3小题）
12．在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为 .
13．设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
14．已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求的最小值．
16．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
17．已知抛物线C：过点．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
18． 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，为的中点，．
（1）证明:平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
19．已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.
答案
1．【正确答案】A
【详解】，即，则其斜率不存在，
故选：A．
2．【正确答案】A
【详解】．
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】由数列的前几项观察归纳，知根号内的被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式，当时，.
4．【正确答案】C
【详解】由题意即为直线，
所以两平行直线之间的距离为．
故选：C
5．【正确答案】B
【分析】
根据抛物线定义得，求出，再分析求解即可.
【详解】
根据抛物线定义得：，解得，所以，
所以.
故选：B.
6．【正确答案】B
【详解】设Mx,y，由于点M是线段AB上靠近A的三等分点，
设，，则，
即，故，
由，故，即，
整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，
故离心率为.
故选：B
7．【正确答案】C
【详解】解：因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，
所以，，
如图所示，当直线过时，
将代入中，
故，
解得，
由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，
则，即，
解得，且劣弧对应的圆的半径为2，
故劣弧对应的圆方程为，
当直线与劣弧相切时，由，
解得舍），
结合图形可知，当时，直线与两段弧有4个交点，可排除B、D，
由，可排除A，
由，故的取值可能是．
故选：C．
8．【正确答案】A
【详解】
连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以点到直线EF的距离为，
故选：A.
9．【正确答案】BD
【详解】由题意，，解得，
所以，.
故选：BD
10．【正确答案】BD
【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.
【详解】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为，
设抛物线C的准线与x轴的交点为Q，
在中，则，，
可得，解得，故A错误，B正确；
∵，则点P的横坐标为，且点P在第一象限，
故点P的坐标为，故C错误，D正确．
故选：BD.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由双曲线C：，可得，则，可知A正确；
对于B，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为，故B错误；
对于C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，则，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C正确；
对于D，如下图，由双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，设，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，
联立方程，解得，点A的横坐标为，由中点坐标公式，，可知点A为线段BF的中点，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【分析】由圆的弦长公式转化为点到直线的距离即可求解.
【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.
故
13．【正确答案】
【详解】由题意可得．
故
14．【正确答案】/0.4
【详解】如图，连结，设，则，
在中，由余弦定理，得，
即，整理得：，
在中，由余弦定理，得，
即，整理得：，
因此，而，则，即，
所以C的离心率．
故
15．【正确答案】(1)
(2)-105
【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程，解方程得到，然后写通项即可；
（2）根据等差数列求和公式得到，然后借助二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知，，得．
当时，有最小值-105．
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，
又圆的半径为2，点在圆上，有，
解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.

17．【正确答案】(1)，准线方程为
(2)
【详解】（1）∵过点，
∴，解得，
∴抛物线C：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线AB：，，，
由，得：，则，
则．
18．【正确答案】见详解
【详解】（1）证明:如图，连接，
在Rt中，由可得，
，
，
，
，
平面，
平面；
（2）解:由（1）和等腰三角形可知，两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
可得，
又由，有，可得点的坐标为，
设平面的法向量为，
由，有
取，可得平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
由，有取，可得平面PAD的一个法向量为．
由，可得平面与平面的夹角的余弦值为．
19．【正确答案】解（1）；（2）或.
【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得，
所以，，从而，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意.
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得，
所以有，，
则 ，
即，化简得.
因为，所以有且.
原点到直线的距离为，的面积，
所以当最大时，的面积最大.
因为，而，
所以当时，取最大值为3，面积的最大值.
把代入，得，所以有，
即直线的方程为或.