河北省邯郸市部分学校2025届高三上学期12月高考模拟数学试题（解析版）

这是一份河北省邯郸市部分学校2025届高三上学期12月高考模拟数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知复数等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数（为虚数单位），复数是复数的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，则，
所以虚部为.
故选：A
2. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是的必要不充分条件，则是的子集，
又因为，或，所以.
故选：C.
3. 某班为了解学生在学习之余的自由活动开展情况，统计了甲､乙两名同学的近十周每周的自由活动时长（单位：），得到下表：
则下面说法正确的是（ ）
A. 甲同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数
B. 乙同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数
C. 甲同学的每周自由活动时间平均值高于乙同学的每周自由活动时间平均值
D. 甲同学的每周自由活动时间中位数低于乙同学的每周自由活动时间中位数
【答案】D
【解析】甲同学的每周自由活动时间平均值为：
，
乙同学每周自由活动时间平均值为：
，
甲同学每周自由活动时间从小到大排序，中位数为，
乙同学每周自由活动时间从小到大排序，中位数为，
所以，所以ABC错误，D正确.
故选：D.
4. 已知矩形中，为的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】.
故选：C.
5. 已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设圆的半径为，根据题意得：，，
所以，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设其方程为，其中，，
，，则，
所以点的轨迹方程为，
故选：B
6. 已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，上､下底面的面积比为，可得上､下底面的半径比为，
设该圆台上底面的半径为，下底面的半径为，母线长为，
因为圆台的侧面积为，所以，即，
又，求解可得，
所以该圆台的体积，
故选：B.
7. 已知函数，若有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点，也即函数的图象与直线有两个交点，
其中函数，
当时，，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
又，，所以图象如图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，
故选：B
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
与曲线的切点为，
而的导数为，的导数为，
所以两曲线的切线分别为，
两条切线对应相同，可得，解得，
所以切线方程为，即，
则.
故选：C.
二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数满足，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下面说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上有两个极值点
【答案】AD
【解析】根据题意，函数关于直线轴对称，所以，
所以，即，
又因为，可得，故A正确；
函数，显然，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C错误；
因为函数，令，则，
根据余弦函数图象可知，D正确.
故选：AD.
10. 已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，直线与抛物线的另一个交点为，则
C. 若，则
D
【答案】AB
【解析】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确；
当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为，
联立整理得，所以，，
所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确；
设，所以，解得，
所以，故选项C错误；
对于抛物线，所以，又，所以，
当为通径时取等号，故选项D错误，
故选：AB.
11. 已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，则，故A正确；
对于，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点1,0对称，，即，即，
所以，所以的图象关于直线对称，但是不能确定的值，故B不正确；
结合的图象关于点1,0对称，所以，周期，
所以，故D正确；
由，所以，所以，即，
令0，则，所以的图象关于直线对称，又的图象关于点对称，
所以的图象关于直线对称，所以，故C正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，则___________.
【答案】15
【解析】在等差数列中，，解得，
所以.
故答案为：15
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】根据题意，，即，
即，即，所以，
所以，
因为，所以，，
又，所以，
则.
故答案为：
14. 一名小朋友在玩游戏，游戏规则如下：该小朋友在原地，他每次活动可以向前或向后走一步或走两步，且每一步步幅大小相同.若这名小朋友经过5次活动后，停在了原点向前两步的地方，则小朋友不同的活动方式共有______种.
【答案】105
【解析】根据题意，分4种情况讨论：
①，小朋友向后走一次2步，向前走4次，每次1步，有5种活动方式；
②，小朋友向后走2次，每次2步，向前走3次，每次2步，有种活动方式；
③，小朋友向后走2次，一次2步，一次1步，向前走3次，2次2步，1次1步，有种活动方式；
④，小朋友向后走2次，每次1步，向前走3次，1次2步，2次1步，有种活动方式，
则一共有种不同的活动方式.
故答案为：105
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正四棱柱中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值.
（1）证明：因为，所以四边形和四边形都是正方形，可得，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：如图，取的中点，连接，设与的交点为与的交点为，连接，取的中点，连接.
由（1）可知，平面，又平面，所以，
又平面，所以，
又平面，平面，平面平面，
所以或其补角就是平面与平面所成的角.
在直角三角形中，，
因为分别为的中点，所以是线段的四等分点，且，
所以，
因为，所以，又平面，所以平面，
又平面，所以，
所以在直角三角形中，，
在中，由余弦定理得：
，
因此，平面与平面所成角的余弦值为.
16. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若有两个不同的解，求的值.
解：（1），
由，即，解得或，
由，即，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极大值，在处取得极小值
（2）为方程的两个解，
即为的两个解，
则，可得，
由根与系数的关系可得，
所以
.
17. 记的内角所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长；
（3）若角的平分线交于点，且，求的值.
解：（1），由正弦定理得，
结合题设，所以，即，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，所以，
根据（1）可知，可得，又，所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，所以，
因为为内角的平分线，所以，
即，
可得，所以，
又由（1）中，可得，解得，
故，则.
18. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上.
（1）解：当直线的斜率不存在时，点，所以，
所以，即，所以，即，
所以，即，解得（舍去.
（2）解：由（1）可得，，所以可设，计算可得，点，
该双曲线的一条渐近线的方程为，即，
利用点到直线的距离公式可得，
又，所以，可得，所以
因此，可得该双曲线的方程为.
（3）证明：由（2）可知，，设，
则直线，直线，
联立
两式相除可得，所以，
当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线，
则，
代入可得，
联立整理得，所以
所以，
则
，注意到，
所以，解得，
所以点在直线上.
19. 记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值.
（1）若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求；
（2）对所有的矩阵，求的最大值；
（3）给定，对所有的矩阵，求的最大值.
解：（1）设等差数列的公差，由题意可得，即，
所以，即，所以，又，由可得，
所以，解得，
由可得.
（2）设且，
若任意改变矩阵的行的次序或列的次序，或把中的每一个数都换成其相反数，得到新矩阵，则，
不妨设，
由定义可知，，
所以
，
当且仅当时取等号，则的最大值为.
（3）设，
，
由（2）不妨设，
由定义可知，，
相加可得
.
当且仅当，且时取等号，所以，的最大值为.
周数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
12
16
31
8
20
22
7
14
12
20
乙
14
20
5
17
11
26
9
30
18
23