2025年中考数学总复习课件(山东省专用)24 第一部分 第四章 第四节 特殊三角形

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考点一　等腰三角形的性质和判定1．等腰三角形(1)定义：有两边____的三角形叫做等腰三角形，其中______相等的等腰三角形叫做等边三角形．
(2)性质①等腰三角形的两个底角____，简称为__________．②等腰三角形的顶角的______、底边上的____、底边上的__重合，简称为________．③等腰三角形是__对称图形．
(3)判定①定义法：有____相等的三角形是等腰三角形．②如果一个三角形有______相等，那么它们所对的边也相等，简称__________．
2．等边三角形(1)性质①等边三角形的三个内角都____，并且每个内角都等于____．②等边三角形是轴对称图形，它有__条对称轴．(2)判定①有三个角____的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的____三角形是等边三角形．
考点二　线段垂直平分线的性质和判定1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________上．考点三　直角三角形的性质和判定1．直角三角形的性质(1)直角三角形两锐角____．(2)直角三角形斜边上的中线等于__________．(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于____的一半．
2．直角三角形的判定(1)有一个角是____的三角形是直角三角形．(2)有两个角____的三角形是直角三角形．3．勾股定理及其逆定理(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于____的平方．(2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__________．
1．等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为(　　)A．100°　 　B．80°　 　C．40°　 　D．100°或40°
C　[∵等腰三角形的一个外角为80°，∴相邻角为180°－80°＝100°，∵三角形的底角不能为钝角，∴100°角为顶角，∴底角为(180°－100°)÷2＝40°．故选C．]
2．(鲁教版七下P133复习题T12改编) 如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是(　　)A．等边三角形　B．腰和底边不相等的等腰三角形　C．直角三角形　D．不等边三角形
A　[∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE．又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故选A．]
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，则∠DAE＝(　　)A．50°B．60°C．65°D．80°
B　[∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，∵在△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°，∴∠BAD＋∠EAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝120°－60°＝60°．故选B．]
5．如图，图中的所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，两个小正方形的面积分别是1，2，最大的正方形的面积等于 ________．
3　[根据勾股定理的几何意义可知，最大的正方形的面积为1＋2＝3．]
考点突破 对点演练
命题点1　等腰三角形的性质和判定【典例1】　(2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ________．
100°　[∵AC＝AE，BC＝BD，∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，∴∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°，∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°，∴∠ACB＋(180°－2x°)＋(180°－2y°)＝180°，180°－(x°＋y°)＝∠DCE，∴∠ACB＋360°－2(x°＋y°)＝180°，∴∠ACB＋2∠DCE＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠ACB＝100°．]
归纳总结　(1)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．(2)在判定定理的证明中，可以作底边的高线也可以作顶角的角平分线，但不能作底边的中线．
在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°－36°－72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵MN是BD的中垂线，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，因此①正确；∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正确；由于DE不是△ABC的中位线，因此③不正确；
命题点2　等边三角形的性质和判定【典例2】　如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
[解]　(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．(2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．
(3)∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
归纳总结　等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
[对点演练]1．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)A．45°B．39°C．29°D．21°
B　[如图，过点A作AF∥l，∵直线l∥m，∴AF∥m，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AF∥l，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝21°，∴∠BAF＝21°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝60°－21°＝39°，∵AF∥m，∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故选B．]
2．(人教版八上P80例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
[证明]　∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED．∴△ADE是等边三角形．
D　[由作图可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由作图可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正确，
[对点演练]1．(2024·四川凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　　)A．25 cmB．45 cmC．50 cmD．55 cm
C　[∵DE垂直平分AB交BC于点D，∴AD＝DB，∵△ACD的周长为50 cm，即AC＋AD＋CD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝50 cm．故选C．]
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，M．求证：点M在BC的垂直平分线上．
[证明]　如图，连接CM，∵DM是AC的垂直平分线，∴∠ADM＝90°，AD＝DC，AM＝CM，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADM＝90°，∴DM∥CB，∴AM＝BM，在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝MB，∴点M在BC的垂直平分线上．
命题点4　直角三角形的性质和判定【典例4】　(2024·四川达州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是________．
[对点演练]1．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个
C　[因为∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形．因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，所以题图中的直角三角形共有4个．故选C．]
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝________．
课时分层评价卷(十七)　特殊三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分) 1．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于(　　)A．50°B．60°　　　C．70°　　　D．140°
A　[∵直角三角形的一个锐角等于40°，∴它的另一个锐角的度数为90°－40°＝50°．故选A．]
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠C　C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C
D　[A选项，∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A－∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，即∠A＋∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选D．]
3．如图，点B，C，D在同一条直线上，且点A在线段BC的垂直平分线上，∠BAC＝120°，点D在线段AB的垂直平分线上，那么∠ADC的度数为(　　)A．60°B．50°C．40°D．30°
C　[∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF是顶角∠BAC的平分线，∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3．故选C．]
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个
在△BCD中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴题图中的等腰三角形有5个．故选D．]
7．(2024·贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 ________．
5　[由作图可知：AD＝AB，∵AB＝5，∴AD＝5．]
8．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 ________．
100°　[由题知，∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，∴等腰三角形的顶角的度数为：180°－2×40°＝100°．]
9．在△ABC中，∠A＝60°，请你添加一个适当的条件，使△ABC是等边三角形，添加的条件可以是___________________________．(只要写出一个符合题意的条件即可)
∠B＝60°(答案不唯一)　[∵在△ABC中，∠A＝60°，若△ABC是等腰三角形，故只需∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC，即可得出△ABC为等边三角形．]
∠B＝60°(答案不唯一)
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度2 cm和8 cm，则AD的长为 ________cm．
11．(2024·岱岳区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，BC＝________．
6　[∵AB⊥AD，∴△ABD是直角三角形，∵∠C＝30°，AB＝AC，AD＝2，∴∠B＝30°，∴BD＝2AD＝4，∵∠B＝30°，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠DAC＝120°－90°＝30°，∴AD＝CD＝2，∴BC＝BD＋CD＝6．]
12．[跨学科](2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为__________________．
x2＋22＝(x＋0.5)2
x2＋22＝(x＋0.5)2　[由AC的长度为x尺，得AB＝AB′＝x＋0.5， ∵AB⊥B′C， 由勾股定理得，AC2＋B′C2＝AB′2， ∴x2＋22＝(x＋0.5)2． ]
13．(2024·四川自贡)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．   (1)求证：∠BDF＝∠A；(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请写出△ABC的形状．
[解]　(1)证明：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，∵∠EDF＝∠C，∴∠AED＝∠EDF，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A．
(2)∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，∵DE∥BC，∴∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．
14．[数学文化](2024·四川眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　　)A．24B．36C．40D．44
17．[易错题](2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为 ___________．
18．[追本溯源题](2024·江西)(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．【方法应用】(2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．①图中一定是等腰三角形的有 ________个．②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
[解]　(1)△BDE 的形状是等腰三角形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形．
(2)①4．②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形且AB＝AE．∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF．∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB，∴∠BAF＝∠AGB，∴AB＝BG＝3，∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG，∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴CF＝2．
19．[项目式学习试题](2024·滨州)【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD．若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
【问题解决】(1)完成①的证明；(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．
(2)小军的证明过程：分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，连接AE，AF，如图所示，∵AB＋BD＝AC＋CD，∴BE＋BD＝CF＋CD，∴DE＝DF，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ADB∽△ADC，∴∠B＝∠C．