2025年中考数学总复习讲义（山东专用）24 第一部分 第四章 第四节 特殊三角形（无答案）

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考点一 等腰三角形的性质和判定
1．等腰三角形
(1)定义：有两边________的三角形叫做等腰三角形，其中________相等的等腰三角形叫做等边三角形．
(2)性质
①等腰三角形的两个底角________，简称为________．
②等腰三角形的顶角的________、底边上的________、底边上的________重合，简称为________．
③等腰三角形是________对称图形．
(3)判定
①定义法：有________相等的三角形是等腰三角形．
②如果一个三角形有________相等，那么它们所对的边也相等，简称________．
2．等边三角形
(1)性质
①等边三角形的三个内角都________，并且每个内角都等于________．
②等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴．
(2)判定
①有三个角________的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的________三角形是等边三角形．
考点二 线段垂直平分线的性质和判定
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2．判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的________上．
考点三 直角三角形的性质和判定
1．直角三角形的性质
(1)直角三角形两锐角________．
(2)直角三角形斜边上的中线等于________．
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________的一半．
2．直角三角形的判定
(1)有一个角是________的三角形是直角三角形．
(2)有两个角________的三角形是直角三角形．
3．勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于________的平方．
(2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________．

1．等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为( )
A．100° B．80° C．40° D．100°或40°
2．(鲁教版七下P133复习题T12改编) 如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，则∠DAE＝( )
A．50°B．60°
C．65°D．80°
4．(鲁教版七下P107习题10.6T2改编) 如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，AC＝12BC，除图中AC和BC外，关系形如a＝12b的线段对还有( )
A．2对B．4对
C．6对D．7对
5．如图，图中的所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，两个小正方形的面积分别是1，2，最大的正方形的面积等于 ________．
命题点1 等腰三角形的性质和判定
【典例1】 (2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ________．
[听课记录]




(1)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
(2)在判定定理的证明中，可以作底边的高线也可以作顶角的角平分线，但不能作底边的中线．
[对点演练]
1．[易错题]若等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的34，则这个三角形的周长为( )
A．30 cmB．40 cm
C．30 cm或40 cmD．30 cm或31 cm
2．(2023·泰安)如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝12BC；④当AC＝2时，AD＝5－1．其中正确结论的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
命题点2 等边三角形的性质和判定
【典例2】 如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
[听课记录]





等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
[对点演练]
1．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45°B．39°
C．29°D．21°
2．(人教版八上P80例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．






命题点3 线段垂直平分线的性质和判定
【典例3】 (2024·泰安)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30°；
②AP垂直平分线段BF；
③EC＝2BE；
④S△BEF＝16S△ABC．
其中，正确结论的个数有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[听课记录]





[对点演练]
1．(2024·四川凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
A．25 cmB．45 cm
C．50 cmD．55 cm
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，M．求证：点M在BC的垂直平分线上．





命题点4 直角三角形的性质和判定
【典例4】 (2024·四川达州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是________．
[听课记录]





[对点演练]
1．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有( )
A．2个B．3个
C．4个D．5个
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝________．
3．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，BC＝4，CD＝25．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．