2025年中考数学总复习课件(山东省专用)23 第一部分 第四章 微专题三 全等三角形模型的应用

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模型一　利用中线构造全等模型[模型展示]类型1：直接倍长中线(图1)．延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接三角形的另外一个顶点．类型2：间接倍长中线(图2)．从三角形另外两个顶点向中线作垂线段，利用“AAS”构造全等三角形．结论：“倍长中线(线段)，构造全等”．
【典例1】　佳佳同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．(1)请回答：①为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；②求AD的取值范围．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点M在AC上，连接BM交AD于点N，且∠MAN＝∠BND．求证：BN＝MN＋MC．
②∵△BED≌△CAD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，∴6－4＜2AD＜6＋4，∴1＜AD＜5．
(2)证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，由(1)可知：△BED≌△CAD，∴BE＝AC＝AM＋MC，∠E＝∠DAC，∵∠MAN＝∠BND，∠MNA＝∠BND，∴∠MAN＝∠MNA，∴AM＝MN，∠E＝∠BND，∴BE＝BN，∴BN＝MN＋MC．
[跟踪训练]如图，△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在AD上，且∠CED＝∠BAD．求证：AB＝CE．
∴△ADB≌△FDC(SAS)，∴CF＝BA，∠F＝∠BAD，∵∠CED＝∠BAD，∴∠CED＝∠F，∴CE＝CF，∴CE＝BA．
模型二　截长补短模型[模型展示]如图1，若证明线段AB，CD，EF之间满足EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法．截长法：如图2，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可．补短法：如图3，延长AB至点H，使AH＝EF，再证明BH＝CD即可．
【典例2】　如图，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．
[跟踪训练]如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．  (1)如图1，若∠ACB＝90°，求证：AB＝AC＋CD；(2)如图2，若AB＝AC＋BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD＋CD．
(3)在AB上截取AH＝AD，连接DH．∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由(2)得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
模型三　一线三等角模型[模型展示]“一线三等角”，也叫“K型图”或“M型图”．(1)锐角型：△APC≌△BDP．
(2)钝角型：△APC≌△BDP．
(3)直角型(一线三垂直)：△ABC≌△CDE．
【典例3】　如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请判断EF，BE，AF三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．
[解]　EF＝BE＋AF，理由如下．证明：∵∠BEC＝∠CFA＝α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，
[跟踪训练]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，E，试确定线段AD，DE与BE三者之间的数量关系并说明理由．
[解]　BE＝AD－DE，理由如下：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE＝90°－∠ECB．
模型四　手拉手模型[模型展示]常见的有以下几种类型：
(1)手拉手全等(△ABP≌△A′B′P′)；(2)手拉手线相等(AB＝A′B′)．
【典例4】　在△ABC中，AB＝AC，P是任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP．
(1)如图1，若点P在△ABC的内部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明．(2)如图2，若点P在△ABC的外部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM≌△BON．(2)若将△MON绕点O顺时针旋转，如图2，当点N恰好在AB边上时．求证：BN2＋AN2＝2ON2．
[证明]　(1)∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠MON＋∠AON＝∠AOB＋∠AON，即∠AOM＝∠BON．∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝ON，OA＝OB．∴△AOM≌△BON(SAS)．
(2)如图，连接AM．∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠MON－∠AON＝∠AOB－∠AON，即∠AOM＝∠BON．∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝ON，OA＝OB，∴△AOM≌△BON(SAS)．∴∠MAO＝∠OBA＝45°，AM＝BN．∴∠MAN＝90°．
∴AM 2＋AN 2＝MN 2．∵△MON是等腰直角三角形，∴MN 2＝2ON 2．∴BN 2＋AN 2＝2ON 2．