2025年中考数学总复习课件(山东省专用)26 第一部分 第四章 第六节 相似三角形

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考点三　相似三角形的性质和判定 1．相似三角形的判定(1)定义：三角分别____，三边______的两个三角形相似．对应线段的比叫做______．(2)预备定理：____于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理①____分别相等的两个三角形相似．②两边______且____相等的两个三角形相似．③三边______的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角____，对应边成____．(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于______．(3)相似三角形周长的比等于______，面积的比等于____________．
考点四　图形的位似 1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于______．
3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)A．EC∶CG＝5∶1B．EF∶FC＝1∶1　C．EF∶FC＝3∶2D．EF∶EC＝3∶5
B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；∵a∥b，AB＝3，BC＝2，∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；∵EF∶FC＝3∶2，∴EF∶EC＝3∶5，D成立．故选B．]
4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是(　　)
考点突破 对点演练
归纳总结　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)A．1.5B．6C．9D．12
归纳总结　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
3．(浙教版九上例题)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的长．
[解]　(1)∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD－∠ACB＝90°－45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，AF＝DF，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°．
(2)证明：由(1)得，AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG．
[对点演练]1．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)A．1∶3B．1∶4C．1∶6D．1∶9
D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3，∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．故选D．]
2．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为________．
3．(2022·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
[解]　(1)证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°．∵DE＝BE，∴∠1＝∠2．又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF⊥AC．
(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF．理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF．∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF．
命题点3　图形的位似【典例4】　如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心．若已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为______________．(结果用含a，b的式子表示)
易错警示　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]1．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)A．90 cm2B．135 cm2C．150 cm2D．375 cm2
(2，4)或(－2，－4)
课时分层评价卷(十九)　相似三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分) 1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)A．1∶1B．1∶3C．1∶6　　　D．1∶9
B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3．故选B．]
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
D　[观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．]
6．[开放性试题](2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 _________________________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC，∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 ______cm．
9．[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
[解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，∵a＝b，c＝d，c＝2a，∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，∵AB与AD的比是16∶10，∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，∴a＝0.1，∴b＝0.1，c＝d＝0.2．答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
10．(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
13．[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
14．[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．(1)【操作判断】如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为 ________度；(2)【问题探究】如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
[解]　(1)如图，PC即为所求．∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，∴四边形OAPC是矩形，∴∠APC＝90°．
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．由(1)知四边形OAPC是矩形，∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，∴PA＝PC，∴矩形OAPC是正方形，∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN，∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，∴OM＋ON＝2PA．
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．由(2)知OM＋ON＝2AP，设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．∴AM＝AO－OM＝x＝OM，∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，∴△MON≌△MAG(ASA)，∴AG＝ON＝3x．
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．由(2)知，四边形OAPC是正方形，∴△APM≌△CPN，∴AM＝CN，∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，∵ON＝3OM，设OM＝x，则ON＝3x，∴AO＝x，CN＝AM＝2x，