浙江省舟山市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份浙江省舟山市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A．B．C．D．
2．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，的切线交半径的延长线于点，为切点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．舟山少体校要从甲、乙、丙、丁四位运动员中选拔一位成绩较为稳定的选手参加省射击比赛．测得的四位选手10次射击平均成绩和方差数据如右表所示，判断哪位学生参加比赛较为合适（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛与纸筒的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当越来越大时，的值越来越接近于1
8．如图，是1个纸杯和个叠放在一起的纸杯示意图，个纸杯叠放所形成的高度为，设杯子底部到杯沿底边高，杯沿高（，均为常量），是的函数，随着的变化规律可以用表达式（ ）描述．
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，分别为，的中点，将绕点顺时针旋转形成，连结．若，时，则为（ ）
A．B．C．D．
10．已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．4
二、填空题
11．已知，则关于的函数为 ．
12．如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，请根据天平列不等式： ．
13．已知100瓶饮料中有3瓶已过保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为． ．
14．如图，在平面直角坐标系中，边长为12的等边三角形的一边在轴上，点在第一象限．若反比例函数的图像在第一象限内经过的中点，则 ．

15．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，交于点，则 ．
16．许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，
问题：（1）起点与终点的距离为 米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 分钟．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）因式分解：
18．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
19．如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)试说明：．
20．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．某研究中心对年中国城市综合指数得分排名前的城市有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
信息一．综合指数得分的频数直方图（数据分成组：，，，，，）：
（数据来于网络《年中国城市科技创合指数报告》）
信息二．综合指数得分在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，．
信息三．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分在的城市个数为______个；
(2)个城市综合指数得分的中位数为______；
(3)以下说法正确的是______．
①某城市创新效率指数得分排名第，该城市的总量指数得分大约是分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．
21．某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）

(1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
(2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
22．综合与实践
23．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，为顶点．
(1)请求出二次函数的表达式及图象的顶点的坐标．
(2)若点为抛物线对称轴左侧一点，过点作轴平行线交对称轴于点，若，试用的代数式表示．
(3)连结，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交对称轴于点，证明：
24．小舟同学在复习浙教版九上93页第1题后进行变式拓展与思考，如图1，为的内接三角形，其中，请完成以下探究：
（1）【直观感受】：①请在图2中用圆规和直尺画出满足条件的所有等腰三角形；
【复习回顾】：②若的半径为，的度数为，请计算的长；
（2）如图3，连接并延长交于点，交于点，过点作于点，记，．
【思考探究】：①求与的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
【感悟应用】：②若点为的三等分点，求．

甲
乙
丙
丁
平均成绩（环）
8
8
8
8
方差（环2）
小明出发时刻
智能手表数据
小明结束时刻
智能手表数据
小红出发时刻
智能手表数据
小红结束时刻
智能手表数据
时刻
步数（步）
心率（次/分钟）
时刻
步数（步）
心率（次/分钟）
时刻
步数（步）
心率（次/分钟）
时刻（）
步数（步）
心率（次/分钟）
解法一：
或
或
解法二：
，，
此方程无实数根．
主题
如何在矩形中折出黄金矩形
探究背景
宽与长比为的矩形叫“黄金矩形”，建于公元前年的古希腊帕特农神庙就是这种矩形．在学习完《比例线段》后，两个兴趣小组开启了数学探究之旅，探究如何在宽，足够长的矩形纸片中折出黄金矩形．
探究过程
小组一：
步骤1：如图1，将纸片折叠，使得与重合，折痕为．
步骤2：如图2，将纸片折叠，使得与重合，折痕为．
步骤3：如图3，先折出折痕，再将矩形沿着折叠，使得的对应边落在直线上．
步骤4：如图4，过点沿着折出矩形
（1）图3中______；______．
（2）请写出图4中哪些图形为黄金矩形?
小组二：我们小组的折叠步骤1，步骤2和第一小组相同，接下来的过程不同．
步骤3：如图5，将纸片沿着折叠，使得点对应点落在上．
步骤4：如图6，将纸片沿着折叠，点对应点落在上，过点沿着折叠，折出矩形．
（3）请写出图6中哪个矩形是黄金矩形?
评价
（4）你认为哪个小组方法较好?请选取一个小组的方法，证明研究过程得到的图形为黄金矩形．
参考答案：
1．A
解：根据题意，小郑跳出了，应记作．
故选：A
2．B
A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．D
解：∵的切线交半径的延长线于点，为切点，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．C
解：∵不是同类项，无法计算，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：C．
5．A
观察表格可知，四人的平均成绩都相同，甲的方差最小，
则甲去参赛更合适，
故选：A．
6．C
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．

7．D
解：当时，，原说法错误，选项A不符合题意；
当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，选项B不符合题意；
当时，∵，
∴，原说法错误，选项C不符合题意；
当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，选项D符合题意；
故选：D．
8．B
解：由题可知，，
因为H，a是常量，n，h是变量，因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数．
故选：B．
9．B
解：过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴设，
∴，
∴，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵是旋转得到，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．D
解：当时，，，当，，
，
当时，，，当，，
，
的最小值为2，
最小值为，
，
当时，取得最小值，即，
，
由题意知，所以，
当时，，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
故选：D
11．
∵，
∴，
∴关于的函数为：．
故答案为：．
12．
解：设1个乒乓球的质量为，
由题意得：
故答案为：．
13．
解：∵100瓶饮料中有3瓶已过保质期，
∴从这100瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为：，
故答案是：．
14．
解：边长为12的等边三角形的一边在轴上，点在第一象限．
，，
点为线段中点，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
15．
解：如图所示，设交于O，
∵四边形是菱形，对角线，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
（1）设小红每步跑米，
∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，
解得：，
∴总路程为：（米）；
故答案为：；
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
17．（1）；（2）
（1）
；
（2）
．
18．(1)两位同学均错
(2)，
（1）两位同学的解题过程都不正确．
（2），
，
或，
所以，．
19．(1)
(2)见解析
（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
20．(1)
(2)
(3)②
（1）综合指数得分在的城市个数为：，
故答案为：．
（2）个城市综合指数得分从小到大排列，排在第和位的两个数分别为：，，
∴中位数为：，
故答案为：．
（3）由题意得，某城市创新效率指数得分排名第一，该城市的总量指数得分大约是，故错误；大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故说法正确．
故答案为：．
21．(1)点距离地面的高度约为米
(2)宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸
（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），
∴（米），
答：点距离地面的高度约为2.5米；
（2）解：根据题意四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），（米），
∴（米），，
（米），
（米），
，
∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸，
答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
22．（1）；；（2）四边形，四边形为黄金矩形；
（3）四边形为黄金矩形；（4）小组一好，证明见解析；小组二好，证明见解析；
解：（1）将纸片折叠，使得与重合，折痕为，
∴，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵将纸片折叠，使得与重合，折痕为，
∴点，为，的中点，
∴，
∴，
∵将矩形沿着折叠，使得的对应边落在直线，
∴，
故答案为：；；
（2）∵，
∴，
由图折叠可知，四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴四边形为黄金矩形，
∵，，
∴，
∴四边形为黄金矩形；
（3）将纸片折叠，使得与重合，折痕为，
∴，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
由图折叠可知，，，
∵纸片沿着折叠，点对应点落在上，过点沿着折叠，折出矩形，
∴，四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形为黄金矩形，
（4）小组一好，四边形为黄金矩形；证明方法同（2）；
小组二好，四边形为黄金矩形；证明方法同(3)．
23．(1)；顶点；
(2)
(3)见解析
（1）解：将点，代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为： ，
，
∴顶点；
（2）设，
∵，
，
；
（3）证明：根据题意得，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则 ，
，
，
，
，
．
24．（1）①见解析；②；（2）①；②
[直观感受]：
①如图，

[复习回顺]
②过点作，
，
，
，
，
，
，
(2)[思考探究]
①如图，过点O作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
[感悟应用]
②连接并延长交于点连接，
为腰三角形，根据轴对称性可知，，
又为直径
，
为中位线，
，
，
点为的三等分点，
如图，当时，
，，
此种情形不存在，
如图，当时，

同理可推得，
，
，
由上题的结论可得
即，
，
，