浙江省嘉兴市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份浙江省嘉兴市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。

考生须知：
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题．
2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷I的相应位置上，做在试题卷上无效．
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 若收入2元记为，则支出3元记为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：收入2元记为
支出3元记为．
故选：C．
2. 给出四个数： ，其中为无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
答案：D
解析：解：A、是分数，属于有理数，此项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，此项不符合题意；
C、是整数，属于有理数，此项不符合题意；
D、是无限不循环小数，属于无理数，此项符合题意．
故选：D．
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和为B. 打开电视机正在播放广告
C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球D. 抛一枚硬币正面向上
答案：A
解析：解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a2+a2=4a4 B. (a2)3=a5 C. a·a2=a3 D. (2a)3=6a3
答案：C
解析：A、 3a2+a2=4a2 ≠ 4a4 ,此题错误，不符合题意；
B、 (a2)3=a6 ≠a5 ，此题错误，不符合题意；
C、 a．a2=a3 ， 此题正确，符合题意；
D、 (2a)3=8a3≠6a3 ,此题错误，不符合题意；
故答案为C.
5. 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
答案：B
解析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案：
正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；
圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；
圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；
球主视图、左视图、俯视图都是圆．
∴三视图有两个相同，而另一个不相同的几何体是圆柱和圆锥．故选B．
6. 在公元前4世纪的印度巴克沙利手稿中记载着一题:甲乙丙丁四人各持金，乙为甲的二倍，丙为乙的三倍，丁为丙的四倍，并知四人持金的总数为132卢比，则乙的持金数为（ ）
A. 4卢比B. 8卢比C. 12卢比D. 16卢比
答案：B
解析：设甲持金数为x，则乙为2x，丙为6x，丁为24x，
由题意得：x+2x+6x+24x=132，
解得：x=4，
∴2x=8，即乙的持金数为8卢比，
故选B.
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若菱形的顶点分别在，反比例函数图象和轴上，则菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示：
令，
解得：，
∴点A的横坐标为，
把代入得：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴
设，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，负值舍去，
故选：B．
8. 抛物线（常数，）满足条件，则（ ）
A 该抛物线与轴有1个或2个交点B. 该抛物线与轴一定有2个交点
C. 该抛物线与轴只有1个交点D. 该抛物线与轴没有交点
答案：A
解析：解：由题意，，
．
．
该抛物线与轴有1个或2个交点．
故选：A．
9. 如图，等边中，点，分别在边，上，,交于点． 若． 则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：如图，过点作的垂线段，交于点，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10. 如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为（ ）
A. 5B. C. D.
答案：D
解析：解：过点作交的延长线于点，过作轴，轴，过点作轴，则：，，
∵点，，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴点的纵坐标为；
故选D．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 用代数式表示“x的2倍与y的差”为__．
答案：##
解析：解：用代数式表示“x的2倍与y的差”为．
故答案为：．
12. 若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是________．（写出一个即可）
答案：（答案不唯一）
解析：解：
．
故答案为：．
13. 某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是________．
答案：288
解析：解：根据题意得：
（人，
即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．
故答案为：288．
14. 已知二次函数，当时，则的取值范围是_________．
答案：
解析：解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，有最大值为：，
当时，有最小值为：，
∴；
故答案为：．
15. 如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为_________．
答案：
解析：解：取的中点,连接，交于，连接，则,
由折叠的性质得
．
故答案为：．
16. 定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是__________．
答案：或##4或0
解析：解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17. （1）计算： ．
（2）解分式方程：．
答案：（1）；（2）
解析：解：（1）
；
（2），
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
答案：（1）
（2），证明见解析
小问1解析：
解：根据题意可得第6个等式：；
小问2解析：
解：根据题意可得第个等式为：，
证明：等式左边，
等式右边，
等式左边等式左边，
等式成立．
19. 按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）如图1是的正方形网格，点，均在格点上，作线段的中点；
（2）如图2，在，点为的中点，作边的中点．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
解：如图所示，点即为所求；
小问2解析：
如图所示，点即所求．
20. 为了解两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了 两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用表示，共分为四组：不合格，合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
款扫地机器人10台一次充满电后运行最长时间分别是：112，90，96，101，99，98，101，105，101，97．
款扫地机器人10台一次充满电后运行最长时间属于良好的数据分别是：101，102，104，100，103，102．
两款扫地机器人运行最长时间统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）求上述图表中的值．
（2）根据题中的信息和数据，你认为哪款扫地机器人运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
答案：（1）101，101.5，10
（2）款扫地机器人运行性能更好，理由见解析
小问1解析：
解：组数据中，出现次数最多的是101，
∴，
组数据中，不合格的数据有（台），合格的有（台），
处于中间的两个数据为：101，102，
∴，
∵良好百分比为，
∴，
∴；
小问2解析：
款扫地机器人运行性能更好，理由如下：
∵两款机器人的平均时间相同，但是款的众数和中位数均比款大，
∴款扫地机器人运行性能更好．
21. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发(h)时，汽车离甲地的路程为(km)，与的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．
答案：（1）这辆汽车的往返速度不同，理由见解析：
（2）1小时或3.8小时
小问1解析：
解：这辆汽车的往返速度不同，理由如下：
从甲到乙的速度为：，
从乙到甲的速度为：，
故其往返速度不同；
小问2解析：
当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得，
当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得．
答：这两汽车从甲地到乙地出发1小时或3.8小时时离乙地路程为60km．
22. 小南用一把可调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺丝帽（如图1），其横截面示意图如图2所示．已知活动扳手的钳口，正六边形螺丝帽的两个顶点分别在上，mm，．
（1）连接，求；
（2）在图2的基础上，调节活动扳手钳口大小，使得与直线重合，与直线重合（如图3），请问和之间的距离减少了多少？（结果精确到1mm，参考数据： ）
答案：（1）
（2）2mm
小问1解析：
解：螺丝帽是正六边形
每个内角为
；
小问2解析：
如图2，过点作，如图3，连接，过点作于，
如图2，由（1）知，
mm，螺丝帽是正六边形
为等边三角形
mm
mm
mm
如图3，螺丝帽是正六边形
mm,
mm
mm
和之间的距离减少了mm．
23. 在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
（1）求的值．
（2）点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
答案：（1）
（2）①；②与的面积之和为定值2
小问1解析：
解：把代入抛物线，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
小问2解析：
①解：如图，设直线的解析式为，
把代入可解得，
直线的解析式为，
，
把代入，可得，
把代入，可得，
，，
若四边形是平行四边形，则，可得，
解得，
当时，四边形是平行四边形；
②解：，，
，
与的面积之和为定值2．
24. 定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
（1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示．
（2）如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
（3）如图3，在 （2）的条件下，
①取弧的中点，连接，若，求圆的半径．
②若，，请直接写出线段的最大值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）①3②
小问1解析：
解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角；
小问3解析：
①∵平分，平分，
∴平分，
∴，
∵是中的好望角，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴为圆的直径，
取的中点，连接，交于点，
∵是弧的中点，
∴，
∴，，，
∴，
设的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴的半径为；
②连接，
∵平分，平分，
∴是的好望角，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．
类别
平均数
中位数
众数
方差

100
100

30.2

100

102
32.8