西南大学附属中学校2025届九年级下学期定时训练（一）数学试卷(含解析)

这是一份西南大学附属中学校2025届九年级下学期定时训练（一）数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，六名学生的成绩，等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A．B．C．0D．
2．如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（ ）
A．细B．节C．决D．败
3．如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数．则实数m的值应在（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
6．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为折线），这个容器的形状可能是（ ）
A．B．C．D．
7．年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n．
①当时，符合条件的单项式共有3个；
②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果；
③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为 ．
12．3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为 ．
13．如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则 ．
14．若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
15．如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则 ， ．
16．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是 ．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点，交边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：如图，在锐角中，，，且．求证：．
证明：，，
①__________．
在与中，
（），
③__________，即，是等腰三角形．
进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________．
19．“发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_____，_____，_____度；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
(3)若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
20．某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个．
(1)求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元；
(2)随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值．
21．如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为．
(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质：
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
22．在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正西方向且米，点在点的正北方向，且米，点在点的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，）
（）求道路的长度（结果保留根号）；
（）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明．
23．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值．
(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
24．如图，在三角形中，，，为上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若点在边上，延长交于点，，，求的长；
(2)如图2，若点在延长线上，延长交于点，交于点，求证：；
(3)若点在边上，为边上一点，，为上方一点，，，连接，为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点旋转得到线段，连接，线段绕点逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
《重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期定时训练（一）数学试题》参考答案
1．C
分别计算各选项绝对值，，，，，
比较大小：，所以绝对值最小的是0，
故答案选：C．
2．A
若以“决”为正方体的下底面，则“败”为上底面；
“节”、“定”分别为正方体的左右侧面；
“成”、“细”分别为正方体的前后面；
故选：A
3．B
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．D
解：∵，，
∴，
∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴．
故选：D
5．B
解：，且，
，
，
实数m的值应在2与3之间，
故选：B．
6．C
解：注水量一定，函数图像的走势是稍陡，平，陡；
那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．
则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
7．D
解：设每次技术改进产品的成本下降率均为，
由题可知技术改进前成本为元，现成本为元，
∵第一次技术改进后成本为元，第二次技术改进后也就是现在的成本为元，
∴根据题意得：；
故选：D．
8．A
连接，
∵半圆与半圆的半径相等，
，
∴是等边三角形，
，
，
又，
．
故选：A．
9．A
解：如图所示：过点作于点，
设，
∵为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴的面积，
∴，
∴，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
解：当时，，
∵a、b、c均为正整数，
∴，，或，，或，，三种情况，
∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确；
当时，，，，
∵a、b、c均为正整数，
∴，，，
∴当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
∴共有四种结果，故②错误；
当时，，a、b、c均为正整数，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
∴所有的和为：
∵x、y、z均不为0，
∴，
∴所有的和为正数，故③正确；
综上分析可知：以上说法正确的有2个．
故选：C．
11．1
解：关于x的一元二次方程的一个根是，
，
解得：，
故答案为：1．
12．
解：把写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”3张卡片分别记为、、，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的结果有2种，
抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为，
故答案为：．
13．
解：如图所示，连接，
∵点、分别为、边的中点，
∴是的中位线，
∴
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
在中，
∵点为的中点，
∴
故答案为：．
14．14
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式有且只有三个偶数解，
，
，
解分式方程得：，
原分式方程有解，
∴且
∴且，
综上，且，为整数，
或8，
所有满足条件的整数的和是．
故答案为：14．
15． 9 /
连接，作于点，则，
∵是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；．
16． 209 5624
解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，
∴，，
∴，
∵，
∴当或时，“合十数”最小为；
设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为，
∴，，
∴，，
∴，
∵能被3整除，
∴是整数，
要使“合十数”A最大，则优先取最大数，
当时，不能为整数，
当时，不能为整数，
当时，，或时，可以为整数，
∴当，时，满足条件的“合十数”A最大，
此时，，，；
故答案为：209；5624．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)①；②；③；在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形
（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：，，
．
在与中，
（），
，即，是等腰三角形；
对于钝角三角形，如图：
，，
．
在与中，
（），
，即，是等腰三角形；
故答案为：①；②；③；④在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形．
19．(1)；，；
(2)八年级的成绩更好，理由见解析；
(3)150人
（1）解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人，
八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩，
；
七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后，
；
八年级C等级人数为，
，
故答案为：；，；
（2）解：八年级的成绩更好，
理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
（3）解：人，
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人．
20．(1)水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元
(2)a的最小值为20
（1）解：已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，
∴设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
答：a的最小值为20．
21．(1)，
(2)作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）
(3)
（1）解：由题意得，
∵与共过点作边的高，
∴，
∴，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴,
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
综上：；
（2）解：画出函数，的图象如图，
函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：记函数与函数的交点为
由图象可得：，
∴当时x的取值范围：．
22．（）米；（）乙先到达点，理由见解析
解：（）如图，过点作于点，过点作，交的延长线于，则四边形是矩形 ，
∴，，
在中，，米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴道路的长度为米；
（）在中，，米 ，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴甲的路程米，
乙的路程米，
∵，
∴外卖员乙先到达点．
23．(1)
(2)的最大值为4；四边形周长的最小值为
(3)存在，或
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
把，代入，得
，
∴，
∴；
（2）解：解，得
，
∴．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴．
设，则，
∴．
作于点H，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为4，
∴，则．
作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，，
∴四边形周长的最小值
．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形周长的最小值为；
（3）解：①当点M在x轴下方时，
∵，
∴．
在射线截取，作于点L，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线，
∴，
∴设．
过点D作于点E，交的对称轴于点F，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
综上可知，点M的坐标为或．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
则，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：过点作交延长线于点，在上取点，连接，使，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即 ；
（3）解：∵，，，
∴是固定大小的等腰三角形，
∴可以固定，进行变动，
∵，，
∴构造的外接圆，连接，，如图，
∴，，
∴是等边三角形，且，
∴是固定圆，
∴点的轨迹为点为圆心，半径为的圆，
利用两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最大，此时如图，最大值为，
设交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点旋转得到线段，
∴点的轨迹为以点为圆心，长为半径的，
∵线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
∴点的轨迹为绕点逆时针方向旋转得到的，如图，
∴，
∴，
∵，
∴点为定点，
由圆外一点到圆上一点的最大距离，可得当，，依次共线时最大，此时如图，
∵，,
∴,
∴最大值．