2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若二次根式 a−1有意义，则a的取值范围为( )
A. a≥1B. a>1C. a≤1D. a≠1
2.图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在( )
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处
3.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|=|c|，则下列结论中正确的是( )
A. a+c>0B. a−b>0C. |a|>bD. ab>0
4.下列命题中，正确的命题有个．( )
①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°
③有理数和数轴上的点一一对应
④若在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足xy=0，则点P在原点上
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.估计4 2× 7+1的值在( )
A. 14到14.5之间B. 14.5到15之间C. 15到15.5之间D. 15.5到16之间
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，连接BD，DE，FG，若DE=GF，且∠BDE=α，则∠BFG=( )
A. 45°−α
B. 2α
C. 2α−45°
D. 45°+α
7.若x−1x+1=0，则x3+2x2+2024的值为( )
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
8.观察并找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是( )
A. 3037B. 3036C. 3035D. 3034
9.如图，在△ABC中，S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为( )
A. 8.2
B. 7.8
C. 6.4
D. 5.6
10.定义“[]”是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数.例如：[1.6]=1，[−1.4]=−2，在式子1.1+2.3−1.3−3.1+0.5中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”．
例如：1.1+2.3−[1.3−3.1]+0.5=1.1+2.3−[−1.8]+0.5=5.9，
[1.1+2.3]−1.3−[3.1+0.5]=[3.4]−1.3−[3.6]=−1.3⋯．
下列说法：
①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；
②存在“取整操作”的运算结果为整数；
③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果；
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若代数式m2−km+1是一个完全平方式，则实数k= ______．
12.若一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的图象经过点(−3,0)，则关于x的方程k(x−7)−b=0的解为x= ______．
13.若关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程1y−1=my1−y−3的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______．
14.如图，在△ABC中，AC=7，AB=6，BC=5，点D是线段AB上一点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点是B′，当点B′恰好落在△ABC的边上时，BD的长是______．
15.有一种把整数分类的方法，指定一个整数n，把所有除以n后得到的余数相等的整数分为一类.例：当n=3时，0，3，6，…除以3，余数为0，这是一类：1，4，7，…余数为1，这也是一类；2，5，8，…是最后一类.定义：一个整数对称位置上的数字为同一类整数(按除以n的余数分类)，则称其为“n的对称同余数”.例：整数54340，是“5的对称同余数”，但不是“3的对称同余数”.已知一个四位整数，既是“4的对称同余数”，又是完全平方数(即是某个整数的平方)，则满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．

(1)如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD=125°，求∠BAG的度数；
(2)连接DG，求证：C、D、G三点共线；
(3)如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．
17.(本小题15分)
阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.例如：( 6− 2)( 6+ 2)=6−2=4，我们称 6− 2的一个有理化因式是 6+ 2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：4 6− 2=4( 6+ 2)( 6− 2)( 6+ 2)=4( 6+ 2)4= 6+ 2
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)计算：(2 5−1)(2 5+1)+4 3−1；
(2)证明： 2025− 2024< 2024− 2023；
(3)已知( a2+1+a)( b2+1+b)=1，探究a与b的关系．
18.(本小题15分)
阅读材料：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，应得多少肉？(所带的钱买16两肉还差40文，买9两肉又多出16文，问所带钱能买多少肉？)”这又是一个歌谣体的古算题，见明程大位《算法统宗》书中．
古算法解盈朒(nǜ，亏损)问题，另立专法，将两次所买肉的两数同两次盈脑的数列成下式：
前所买数后所买数×朒数盈数，交叉相乘，两积相并(相加)，得数为被除数，又盈相并，得数为除数，两数相除即得．
前题若依古法计算，列式：
前买肉16两后买肉9两×朒40文盈16文，哑子应得肉6×16+9×4040+16=11两.同新法比较，简易而又别致．
——许莼舫《古算趣味》
(1)将原题改为“十两多八文，十三少十六”(所带的钱买10两肉多出8文，买13两肉还差16文)，用古法解决这个问题；
(2)将原题改为“八两多廿四，九两多十六”(所带的钱买8两肉多出24文，买9两肉又多出16文)，能否使用上述古算法解决？如果不能，则说明理由；如果能，算出答案，并说明其合理性；
(3)将问题一般化：所带的钱买a两肉还差b文，买c两肉又多出d文，问所带钱能买多少肉？，试用代数方法证明古法公式“能买肉ad+cbb+d两”的正确性．
19.(本小题15分)
定义运算max{a,b}：当a≥b时，max{a,b}=a；当a(1)若max{3x−1,−x+3}=3x−1，求x的取值范围；
(2)过y轴上的动点A(0,a)，作平行于x轴的直线，分别与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于B、C两点(点B在点C的左侧)，若BC=3AB，求a的值；
(3)若一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，DE≤3 5，求k的取值范围．
20.(本小题15分)
直角坐标平面xOy内，有一条曲线C，曲线C上任意一点P的坐标(x,y)满足方程4x−y2=0，平面xOy内，还有一条直线l：x=−1，一个点F(1,0)．

(1)如图1，过曲线C上任意一点P，作直线l的垂线段，垂足为H(−1,y)，求证：PF=PH；
(2)如图2，动直线y=kx−k为与曲线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作直线l的垂线段，垂足分别C、D，作∠BAC的平分线AT，交直线l于T，连接BT，求证：BT平分∠ABD；
(3)如图3，P(x,y)是曲线C上一动点，Q(5,5)是曲线C外部一点，R(−1,y0)是直线l上一动点，直接写出PQ+PR的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵二次根式 a−1有意义，
∴a−1≥0，
∴a≥1，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
根据中心对称图形的概念解答．
本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵|a|=|c|，
∴原点在a，c的中间，
如图：
由图可得：|a|>|b|，
∴a+c=0，a−b<0，|a|>b，ab<0，
故选项C正确．
故选：C．
根据|a|=|c|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
4.【答案】A
【解析】解：①如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，故原说法错误；
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°，正确；
③实数和数轴上的点一一对应，故原说法错误；
④若在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足xy=0，则x=0或y=0，故点P在x轴或y轴上，故原说法错误；
故选：A．
根据对顶角的定义，直角三角形的性质，实数与数轴的关系，数轴上点的特点逐项判断即可．
本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法及相关知识点是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：4 2× 7+1=4 14+1，
∵4 14+1= 224+1，14.5= 210.25< 224< 225=15，
则15.5< 224+1<16，
故选：D．
先运算二次根式，得4 14+1，再进行 14的估算，即可作答．
本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，解答本题的关键要掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
6.【答案】D
【解析】解：过A作AM//GF交DE于N，交BC于M，
，
∵正方形ABCD，
∴AD//BC，∠DAB=∠ABM=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
∴四边形AMFG是平行四边形，
∴GF=AM，
又DE=GF，
∴AM=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△BAM(HL)，
∴∠AED=∠AMB=45°+α，
∵AM//GF，
∴∠BFG=∠AMB=45°+α，
故选：D．
过A作AM//GF交DE于N，交BC于M，利用平行四边形的判定与性质可得出GF=AM，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△BAM，得出∠AED=∠AMB=45°+α，然后利用平行线的性质即可求解．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵x−1x+1=0，
∴x+1=1x，1x−x=1，
则x3+2x2+2024=x(x2+2x+1−1)+2024=x(x+1)2−x+2024，
把x+1=1x，1x−x=1代入上式，得x(x+1)2−x+2024=x(1x)2−x+2024=1x−x+2024=1+2024=2025，
故选：A．
先整理x+1=1x，1x−x=1以及把x3+2x2+2024化为x(x+1)2−x+2024，再把x+1=1x，1x−x=1代入计算化简，即可作答．
本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，解答本题的关键是整体思想的运用．
8.【答案】B
【解析】解：∵第一个图黑色正方形的数量为1+1+12=2(个)；第三个图黑色正方形的数量为3+3+12=5(个)；第五个图黑色正方形的数量为5+5+12=8(个)；
∴当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为(n+n+12)个，
∵第二个图黑色正方形的数量为2+22=3(个)；第四个图黑色正方形的数量为4+42=6(个)；
∴当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为(n+n2)个；
∴当n=2024时，黑色正方形的个数为2024+20242=2024+1012=3036(个)，
故选：B．
根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．
本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：如图：分别过点E作EM⊥BC，EN⊥AC，△BED，△EDC，△AEC的面积分别记S1，S2，S3，
∵∠ACB的角平分线CE交AB于E，
∴EM=EN=ℎ，
∵S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，
则S1S2=12BD×ℎ12DC×ℎ=BDDC=21，S3=12AC×ℎ，S△ADC+S△ADB=S△ADC+2S△ADC=24(同高，底边比就是面积比)，
∴S3=S1=2S2，S3+S2+S1=24，S△ADC=8，
∴S2=245,S3=S1=485，
则△ADE的面积=24−S1−S△ADC=24−485−8=6.4，
故选：C．
先根据角平分线的性质，得EM=EN=ℎ，通过同高，底边比就是面积比得S3=S1=2S2，S3+S2+S1=24，S△ADC=8，运用割补法得△ADE的面积=24−S1−S△ADC，进行代入数值计算，即可作答．
本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：依题意，原式：1.1+2.3−1.3−3.1+0.5=−0.5，
[1.1+2.3]−1.3−3.1+0.5=3−1.3−3.1+0.5=−0.9，
1.1+[2.3−1.3]−3.1+0.5=1.1+1−3.1+0.5=−0.5，
1.1+2.3−1.3−[3.1+0.5]=1.1+2.3−1.3−3=−0.9，
[1.1+2.3]−[1.3−3.1]+0.5=3−(−2)+0.5=5.5，
1.1+[2.3−1.3]−[3.1+0.5]=1.1+1−3=−2.9，
∴存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；故①是错误的；
∴不存在“取整操作”的运算结果为整数；故②是错误的；
∴所有的“取整操作”共有6种不同运算结果，分别是5.9，−1.3，−0.5，−0.9，5.5，−2.9；故③是正确的；
故选：B．
先根据题意，把所有的情况列式并运算出来，再逐项分析，即可作答．
本题考查了新定义运算，关键是正确理解题意列式计算．
11.【答案】±2
【解析】解：∵代数式m2−km+1是一个完全平方式，
∴−k=±2×1=±2，
∴k=±2，
故答案为：±2．
利用平方项来确定这两个数．利用完全平方公式进行求解．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，解答本题的关键是利用平方项来确定这两个数．
12.【答案】10
【解析】解：依题意，把(−3,0)代入y=kx+b，
得0=−3k+b，
∴0=3k−b，
∵0=k(x−7)−b，
即x−7=3，
∴x=10，
故答案为：10．
先把(−3,0)代入y=kx+b，得0=−3k+b，整理得0=3k−b，与方程0=k(x−7)−b作比较，即可作答．
本题考查一次函数与x轴的交点问题、与一元一次方程的解的关系，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
13.【答案】−6
【解析】解：解关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1，得x≤m−1x>−6，
∵关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有4个整数解，
∴−6∴−5解关于y的分式方程1y−1=my1−y−3，得y=2m+3，
∵分式方程的解为整数，−5∴满足条件的整数m的值为−4，−2，
∴所有满足条件的整数m的值之和是−4−2=−6．
故答案为：−6．
根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出m的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出m的取值范围，然后求出满足条件的m的值，即可得出答案．
本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．
14.【答案】1或52
【解析】解：当点B′在AB上时，
此时CD⊥AB，
设BD=x，
∵AC2−AD2=BC2−BD2，
∴72−(6−x)2=52−x2，
解得x=1，即BD=1；
当点B′在AC上时，过B作BH⊥AC于H，过点D作DG⊥AC于点G，做DN⊥BC于点N，
∵AB2−AH2=BC2−CH2，
∴62−(7−CH)2=52−CH2，
解得CH=197，
∴BH= BC2−CH2=12 67，
依据翻折的性质，且点B′在AC上，得∠BCD=∠B′CD，BD=B′D，
∴DG=DN，
∵12AC⋅DG+12BC⋅DN=12AC⋅BH，
∴12×7DG+12×5DG=12×7×12 67，
解得DG= 6，
设BD=x，B′G=y，
∵AD2−AG2=DG2=DB′2−B′G2，
∴(6−x)2−(2+y)2=( 6)2=x2−y2，
化简得y=8−3x，
∴( 6)2=x2−(8−3x)2，
解得x1=52，x2=72，即BD=52或72(不合题意，舍去)．
综上，BD的值为1或52，
故答案为：1或52．
分点B′在AB，AC讨论，添加合适辅助线BC，构造直角三角形求解即可．
本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
15.【答案】10890
【解析】解：∵一个完全平方数(即是某个整数的平方)四位整数，完全平方数(即是某个整数的平方)，
∴31×31=961，32×32=1024，33×33=1089，
∵961<1000，32×32=1024不满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；4除以4的余数是0，不对称，故舍去)，
∴33×33=1089满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；9除以4的余数是0，0除以4的余数0；8除以4的余数是0，对称)，
∴最小的四位数为1089；
同理100×100=10000不是4位数，故舍去；
99×99=9801满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；9除以4的余数是0，0除以4的余数0；8除以4的余数是0，对称)，
∴最大的四位数是9801，
∴满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为9801+1089=10890，
故答案为：10890．
先根据完全平方数(即是某个整数的平方)，得到最小满足一个四位整数，是“4的对称同余数”，即33×33=1089，因为100×100=10000，99×99=9801，且最大的数：9801满足一个四位整数，是“4的对称同余数”，即可作答．
本题考查了新定义以及完全平方数的应用，解答本题的关键要明确应用完全平方公式时，①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．
16.【答案】(1)解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=∠EAG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAE=360°−∠ADC−∠AEH−∠EHD=360°−90°−90°−125°=55°，
∴∠BAE=90°−55°=35°，
∴∠BAG=∠EAG+∠BAE=90°+35°=125°；
(2)证明：连接DG，

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∠B=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG(SAS)，
∴∠B=∠ADG=90°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G三点共线；
(3)解：过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，

则∠EKF=90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠B=∠AEF=90°，
∴∠B=∠EKF，
∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEK=90°，
∴∠BAE=∠FEK，
∴△AEB≌△EFK(AAS)，
∴BE=FK，AB=EK=5，
∵点E是线段BC的中点，
∴BE=EC=12×5=52，
∴FK=CK=52，
∵∠CKF=90°，
∴△CFK是等腰直角三角形，
∴CF= 2FK=52 2．
【解析】(1)由正方形的性质求出∠DAE=55°，得出∠BAE=90°−55°=35°，则可得出答案；
(2)连接DG，证明△BAE≌△DAG(SAS)，得出∠B=∠ADG=90°，证出∠ADC+∠ADG=180°，则可得出结论；
(3)过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，证明△AEB≌△EFK(AAS)，得出BE=FK，AB=EK=5，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=(2 5)2−12+4( 3+1)( 3−1)( 3+1)
=20−1+2( 3+1)
=20−1+2 3+2
=21+2 3，
(2)∵1 2025− 2024= 2025+ 2024( 2025− 2024)( 2025+ 2024)= 2025+ 2024，
1 2024− 2023= 2024+ 2023( 2024− 2023)( 2024+ 2023)= 2024+ 2023，
∴1 2025− 2024>1 2024− 2023，
∴ 2025− 2024< 2024− 2023；
(3)∵( a2+1+a)( b2+1+b)=1，
∴( a2+1+a)( a2+1−a)( b2+1+b)= a2+1−a，
∴[( a2+1)2−a2]( b2+1+b)= a2+1−a，
∴(a2+1−a2)( b2+1+b)= a2+1−a，
∴ b2+1+b= a2+1−a，
同理 a2+1+a= b2+1−b，
两式相加，得a+b=−a−b，
∴a+b=0．
【解析】(1)利用平方差公式和分母有理化计算即可；
(2)分别取倒数，然后把两数分母有理化，然后比较即可；
(3)等式两边分别乘以 a2+1−a， b2+1−b，然后两式相加即可得出结论．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和平方差公式是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)依古法计算，列式：
哑子应得肉前买肉10两后买肉13两×朒8文盈16文=10×16+13×88+16=11(两)．
(2)能，将所带的钱买8两肉多出24文，看作所带的钱买8两肉少−24文，
列式为：前买肉8两后买肉9两×朒−24文盈16文=9×(−24)+16×8−24+16=11；
(3)列式为前买肉a两后买肉c两×朒b文盈d文=ad+bcb+d，
设肉价为每两x文，他所带钱数为y文，
依题意得，ax=y+bcx=y−d，
解得：x=−b+dc−ay=−ad+bcc−a，
∴yx=ad+bcb+d．
【解析】(1)根据公式进行计算即可求解；
(2)根据公式进行计算即可求解；
(3)设肉价为每两x文，他所带钱数为y文，解关于x，y的二元一次方程组，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，分式的除法，有理数的混合运算；
19.【答案】解：(1)∵max{3x−1,−x+3}=3x−1，
∴3x−1≥−x+3，
解得x≥1；
(2)当x−3<−x−1时，解得x<1，
∴y=−x−1；
当x−3≥−x−1时，x≥1时，
∴y=x−3；
过y轴上的动点A(0,a)，作平行于x轴的直线，
∴B(−1−a,a)，C(a+3,a)，
∵BC=3AB，
∴(a+3+1+a)=3|−1−a|，
解得a=−75或a=1；
(3)画出函数y=max{x−3,−x−1}的图象如图，

∵一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，
∴12x+k=−x−1，12x+k=x−3，
解得x1=−23k−23，x2=2k+6，
设D(x1,−x1−1)，E(x2,x2−3)，
∴DE= (x1−x2)+2(y1−y2)2= (x1−x2)2+(x1+x2−2)2≤3 5，
∵x1+x2−2=43k+103，x1−x2=−83k−203，
∴49(2k+5)2+169(2k+5)2≤45，
∴−92≤2k+5≤92，
∴−194≤k≤−14，
把点(1,−2)代入y=12x+k得，k=−52，
∵一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，
∴k>−52，
∴−52【解析】(1)根据新定义的意义即可得到结论；
(1)根据新定义的意义分类讨论，再表示出B、C的坐标，由BC=3AB，得到(a+3+1+a)=3|−1−a|，即可a=−75或a=1；
(3)联立两个函数解析式，求得D、E的坐标，利用两点间距离公式表示出DE，由DE≤3 5，得到DE= (x1−x2)2+(y1−y2)2= (x1−x2)2+(x1+x2−2)2≤3 5，两边平方得到49(2k+5)2+169(2k+5)2≤45，进而求得−194≤k≤−14，由一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，把点(1,−2)代入求得k的值，利用图象可得答案．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了新定义，求不等式的解集，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，表示出B、C、D、E的坐标是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵曲线C上任意一点P的坐标(x,y)满足方程4x−y2=0，平面xOy内，还有一条直线l：x=−1，一个点F(1,0)，
∴PF2=(x−1)2+y2=(x−1)2+4x=(x+1)2，
∵过曲线C上任意一点P，作直线l的垂线段，垂足为H(−1,y)，
∴PH2=(x+1)2+(y−y)2=(x+1)2，
∴PF=PH；
(2)连接TF，如图2，

∵∠BAC的平分线AT，
∴∠CAT=∠FAT，
由(1)知，设点B(n,m)，
∴BF2=(n−1)2+m2=(n−1)2+4n=(n+1)2，
∵过曲线C上一点B，作直线l的垂线段，垂足为D(−1,y)，
∴DB2=(n+1)2+(m−m)2=(n+1)2，
∴AF=AH，
∵TA=TA，
∴△ACT≌△AFT(SAS)，
∴∠AFT=∠ACT=90°，
∵过A、B两点分别作直线l的垂线段，垂足分别C、D，
∴∠BDT=90°，∠BFT=180°−∠AFT=90°，
由(1)的结论可知PF=PH，同理得BD=BF，
∵TB=TB，
∴Rt△TDB≌Rt△TFB(HL)，
∴∠DBT=∠FBT，
∴BT平分∠ABD；
(3)连接PF，连接FQ且交曲线C于一点P1，如图3，

由(1)的结论可知，
∵曲线C上任意一点P的坐标(x,y)满足方程4x−y2=0，平面xOy内，还有一条直线l：x=−1，一个点F(1,0)，
∴PF2=(x−1)2+y2=(x−1)2+4x=(x+1)2，
∵过曲线C上任意一点P，作直线l的垂线段，垂足为H(−1,y)，
∴PR=(x+1)2+(y−y)2=(x+1)2，
∴PF=PR，
∴PQ+PR=PQ+PF>QF，
当PQ+PR的最小值，即P1Q+P1F=QF，
∵Q(5,5)，F(1,0)，
∴QF= (5−1)2+52= 41，
即PQ+PR的最小值为 41．
【解析】(1)根据定义，根据两点间的距离公式分别计算出PF2，PH2，再进行比较，即可作答；
(2)根据角平分线的定义，且结合(1)的结论，则证明△ACT≌△AFT(SAS)，再通过HL证明Rt△TDB≌Rt△TFB，得∠DBT=∠FBT，即可作答；
(3)结合(1)的结论，得PR=PF，有PQ+PR=PQ+PF>QF，当Q，P1，F共线时，则有最小值，再结合两点间的距离公式列式计算，即可作答．
本题考查了新定义以及两点间的距离公式、角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．