北京市顺义区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份北京市顺义区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，所以.
故选：B.
2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：函数在上单调递减，A选项错误；
对于B：函数定义域为关于原点对称，且，
所以是奇函数不是偶函数，B选项错误；
对于C：函数在单调递减，C选项错误；
对于D：函数定义域为关于原点对称，
且，所以为偶函数，
时，单调递增，D选项正确.
故选：D.
3. 命题，都有，则命题的否定为（ ）
A. ，使得B. ，都有
C. ，使得D. ，都有
【答案】C
【解析】由题意可得.
故选：C.
4. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A：因为，左右乘以，所以，
所以，故A正确；
对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为，取，所以，故D错误.
故选：A.
5. 设，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
所以.
故选：C.
6. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将代入函数，.
把代入函数，则.
由于，，满足，且内图像连续，
根据零点存在定理可知函数在区间内有零点，故A正确.
将代入函数，得到.
因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.
把代入函数，
可得.
由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.
将代入函数，得到.
因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.
再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大.
综上所得，函数的零点所在的大致区间是.
故选：A.
7. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减.
已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知.
因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得.
这说明由可以推出.
当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得.
说明由也可以推出.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
8. 通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意：，，所以.
故选：D.
9. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A. 若为第一象限角，且，则
B. 函数的定义域为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数的最小正周期为
【答案】B
【解析】对于A，，满足第一象限角，而，错；
对于B，由，可得，故定义域为，对；
对于C：当时，函数值为：，错；
对于D：由周期公式可知最小正周期为，错.
故选：B.
10. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，即.
因为，且.
若，当时：
对于，令，，，，，
通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解.
要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，
（且）必须有一个解.
由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解.
若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个.
综上所得，的取值范围是.
故选：B.
二、填空题.
11. 函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】由题知，函数，
所以，解得，
所以定义域为.
12. 已知幂函数的图象过点，则____________.
【答案】3
【解析】设，则，，即，∴．
13. 已知函数，那么当__________时，函数取得最小值且最小值为__________.
【答案】2 5
【解析】因，所以函数，
当且仅当，即时取最小值5.
14. 若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为点关于x轴的对称点为，
所以有，
由可得：，
由可得：或，
显然无实数解，
由，
于是当时，即，符合题意.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①函数的图象经过原点但不关于原点对称；
②是周期函数且在区间上单调递增；
③函数的图象是轴对称图形；
④函数有最大值也有最小值，且最大值为1.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】由有：
，故①正确；
令，周期为，令，
可知不是周期函数，所以不是周期函数，故②错误；
，
所以，
所以，故的图像关于对称，故③正确；
由，当时，，
又因为是连续函数，当时，，所以有最小值，
即函数有最大值也有最小值，且最大值为1，故④正确.
三、解答题.
16. 已知全集，集合.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得或，
可得或，
若，则，所以或.
（2）由（1）知可得或，
所以，
又因为，若，
则实数的取值范围是.
17. 已知函数的图象过点.
（1）求及的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
解：（1）因为的图象过点，
所以即，
化简得即所以.
的最小正周期：.
（2）由（1）可知，
令，因为的单调递增区间为，
所以令，，
解得，
所以的单调递增区间为.
18. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.
（1）若点的纵坐标为，求的值；
（2）若，求的最小值.
解：（1）因为点的纵坐标为，所以.
又.
因为，
所以.
（2）因为，所以，所以.
所以.
所以当时，取最小值为.
19. 已知函数，且函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；
（3）设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）
解：（1）令，解得，所以函数的定义域为.
由于函数是奇函数，
所以函数在其定义域内满足，
则.
整理得：，
注意到对任意的上式均成立，可得，解得.
（2）因为，可知函数在区间上单调递增.
证明如下（方法一）：
对任意，且，
则.
因为，
可得，即，
所以函数在区间上单调递增.
证明单调性（方法二）：
对任意，且，
则
因为，
可得，即，
所以函数在区间上单调递增.
（3）由题意得，
根据第(2)小问得在区间上单调递增，
又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，
当时，F12=lg23-32=lg29-lg28>0，
当时，，
根据零点存在定理得在区间上存在一个零点，
同理可得在区间上存在一个零点，
所以函数有2个零点.
20. 某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下：
①函数是区间上的增函数；
②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；
④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
（1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式；
（2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）.
解：（1）选择模型①，由函数过点，得，则，
当时，，不符合题意；
选择模型③，由函数过点，得，则，
当时，，不符合题意；
选择模型②，由函数过点，得，解得，
此时函数的解析式为，当时，，符合题意，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分，
得，即，则，
解得，
所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟.
21. “函数图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数.
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数的图象关于点对称，
所以，所以.
（2）（i）因为，
所以.
所以，
即对任意，都有成立
故的图象关于点对称.
（ii）因为，所以在区间上单调递增，
所以在区间上的值域为.
记在上的值域为集合在上的值域为集合.
由于对任意，总存在，使得成立，
所以.
由的对称性可知，只需，
①当，即时，函数在上单调送增，
因为，所以，
所以.
②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增，
因为，所以，即，
解得，
又因为所以.
③当，即时，函数在上单调递减，所以，
结合，得.
综上，实数的取值范围为.