2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷（含解析）

展开

这是一份2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−2≤x<2}，N={x|x+1≥0}，则M∩N=( )
A. {x|−1≤x<2}B. {x|−1C. {x|−2≤x≤−1}D. {x|1≤x<2}
2.函数y=lg12(2x+1)的定义域为( )
A. (0,+∞)B. [−12,+∞)C. (−12,+∞)D. (−∞,−12)
3.命题“∃x∈R，使得|x−2|≤3”的否定为( )
A. ∃x∈R，|x−2|≥3B. ∀x∈R，都有|x−2|≥3
C. ∃x∈R，|x−2|>3D. ∀x∈R，都有|x−2|>3
4.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=x−2B. y=−lnxC. y=12xD. y=e|x|
5.已知a=2−π，b=lg0.32，c=lg23，则a，b，c的大小关系是( )
A. c>a>bB. b>c>aC. a>c>bD. c>b>a
6.已知a，b，c是任意实数，且a>b>c，则下列不等式一定成立的是( )
A. ca2cC. a|c|c
7.已知函数f(x)=x2−2ax+1，则“a<0”是“函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
8.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v=5lg2Q10，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q1时的飞行速度为v1，耗氧量的单位数为Q2时的飞行速度为v2，若v2−v1=7.5(m/s)，则Q2Q1的值为( )
A. 2B. 34C. 2 2D. 24
9.已知函数f(x)=2x,x≤1lg2x,x>1，若方程f(x)=−x+k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. (1,3)B. (1,3]C. (1,+∞)D. (1,2]
10.悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为y=c2(exc+e−xc)，其中c为参数，当c=1时，该方程就是双曲余弦函数f(x)=ex+e−x2，类似的我们有双曲正弦函数g(x)=ex−e−x2，下列说法错误的是( )
A. [f(x)]2−[g(x)]2=1B. 函数y=g(x)f(x)的值域(−1,1)
C. ∀x∈R，f(x)>x2恒成立D. 方程g(x)f(x)=−x+1有且只有一个实根
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(2, 2)，那么f(4)= ______ ．
12.若圆心角为2π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 ______ ．
13.已知函数f(x)=1−x−2x(x>0)，则当x= ______ 时，函数f(x)取到最大值且最大值为 ______ ．
14.若点A(csα,sinα)关于x轴的对称点为B(cs(α−π3),sin(α−π3))，则角α的一个取值为 ______ ．
15.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(4−x)+g(x)=0，且当x∈(0,2]时，g(x)=f(x)，给出下列四个结论：
①g(0)=0；
②函数g(x)在(−4,8)内有且仅有3个零点；
③g(−72)>g(2024)>g(3)；
④不等式f(x)≤|lg2(x+1)|的解集(−1,−12]∪[1,2]．
其中正确结论的序号是 ______ ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知不等式x2−x−6≤0的解集为A，非空集合B={x|m−1(1)求集合A；
(2)当m=2时，求A∪B；
(3)若B⊆A，求实数m的取值范围．
17.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(− 55,−2 55)．
(1)求sinα−csα的值；
(2)若角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转π2，与单位圆交于点Q，求点Q的坐标．
18.(本小题14分)
已知csα=−513且α的范围是_____．
从①(0,π2)，②(π2,π)，③(π,3π2)，④(3π2,2π)，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
(Ⅰ)求sinα，tanα的值；
(Ⅱ)化简求值：sin(−α)cs(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)．
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)判断函数f(x)在区间[2,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(Ⅲ)若g(x)=f(x)−k(k∈R)有两个零点，请写出k的范围(直接写出结论即可)．
20.(本小题14分)
美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产B芯片的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系为y=kxa(x>0)，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(亿元)与投入资金x(亿元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x亿元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入−研发耗费资金)
21.(本小题15分)
对于定义域为I的函数f(x)，如果存在区间[m,n]⊆I，使得f(x)在区间[m,n]上是单调函数，且函数y=f(x)，x∈[m,n]的值域是[m,n]，则称区间[m,n]是函数f(x)的一个“优美区间”．
(Ⅰ)判断函数y=x2(x∈R)和函数y=3−4x(x>0)是否存在“优美区间”？(直接写出结论，不要求证明)
(Ⅱ)如果函数f(x)=x2+a在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合M={x|−2≤x<2}，N={x|x+1≥0}={x|x≥−1}，
则M∩N={x|−1≤x<2}．
故选：A．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：函数y=lg12(2x+1)，
则2x+1>0，解得x>−12，
故函数y的定义域为(−12,+∞)．
故选：C．
结合对数函数的真数大于0，即可求解．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：“∃x∈R，使得|x−2|≤3”的否定为：∀x∈R，都有|x−2|>3．
故选：D．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：y=x−2，y=−lnx，y=12x在(0,+∞)上单调递减，故ABC错误；
y=e|x|在区间(0,+∞)上单调递增，故D正确．
故选：D．
利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．
本题主要考查函数单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：a=2−π∈(0,1)，b=lg0.32<0，c=lg23>1，
故c>a>b．
故选：A．
由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了指数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：当c=0时，AC均不成立，
a>b>c，
则a>c，b>c，
故a+b>c+c=2c，故B正确；
a=−1，b=−2，c=−3，满足a>b>c，
但a+b=c，故D错误．
故选：B．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)=x2−2ax+1=(x−a)2−a2+1开口向上，对称轴为x=a，
函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则a≤0，
“a<0”能推出“函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增”，
但“函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增”不能推出a<0，a有可能等于0，
故“a<0”是“函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，该函数开口向上，在对称轴右侧单调递增，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查了二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关．
8.【答案】C
【解析】解：∵v=5lg2Q10，
∴v2−v1=5lg2Q110−5lg2Q210=5lg2(Q110Q210)=5lg2Q1Q2=7.5，
∴lg2Q1Q2=32，
∴Q1Q2=232=2 2．
故选：C．
由题意可再v2−v1=5lg2Q110−5lg2Q210=7.5，再利用对数的运算性质求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：方程f(x)=−x+k有两个不相等的实数根，
即函数y=f(x)的图象与函数y=−x+k的图象有两个交点，
作出y=f(x)的图象及直线y=−x+k，如图所示：
直线y=−x+k斜率为−1，在y轴上的截距为k，
要使直线与曲线有两个交点，
则1故选：B．
方程f(x)=−x+k有两个不相等的实数根，转化为函数y=f(x)的图象与函数y=−x+k的图象有两个交点，作出函数图象及直线，观察图象即可求解．
本题考查了函数的零点、方程的根及函数图像交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：对于A，[f(x)]2−[g(x)]2=e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4=1，故A正确；
对于B，y=g(x)f(x)=ex−e−xex+e−x=ex+e−x−2e−xex+e−x=1−2e−xex+e−x=1−2e2x+1，
因为e2x>0，所以e2x+1>1，所以0<2e2x+1<2，
所以−1<1−2e2x+1<1，
所以函数y=g(x)f(x)的值域(−1,1)，故B正确；
对于C，因为e2+e−22<2．82+12.722=7.84+17.292<7.84+16.252=4=22，
即f(x)<22，故C错误；
对于D，y=g(x)f(x)=1−2e2x+1，
令u=e2x+1，函数u=e2x+1为增函数，且u=e2x+1>1，
而函数y=1−1u在u∈(1,+∞)上为增函数，
所以函数y=g(x)f(x)=1−2e2x+1是增函数，
令F(x)=g(x)f(x)+x−1，
因为函数y=g(x)f(x)，y=x−1都是增函数，
所以函数F(x)=g(x)f(x)+x−1是增函数，
又F(0)=−1<0，F(1)=1−2e2+1>0，
所以函数F(x)=g(x)f(x)+x−1有唯一零点，且在(0,1)上，
即方程g(x)f(x)=−x+1有且只有一个实根，故D正确．
故选：C．
直接计算即可判断A；
分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；
举出反例即可判断C；
令F(x)=g(x)f(x)+x−1，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D．
本题考查了指数函数的性质、指数的运算，考查了函数的零点及转化思想，属于中档题．
11.【答案】2
【解析】解：因为幂函数f(x)=xa的图象过点(2, 2)，
所以2a= 2，解得a=12，
所以f(4)=412=2．
故答案为：2．
根据幂函数的图象过点(2, 2)，列方程求出a，再计算f(4)的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
12.【答案】3π4
【解析】解：扇形的圆心角为2π3，弧长为π，
则扇形的半径为r=lα=π2π3=32，
所以该扇形的面积为S=12lr=12×π×32=3π4．
故答案为：3π4．
根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
本题主要考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．
13.【答案】 2 1−2 2
【解析】解：f(x)=1−x−2x=1−(x+2x)≤1−2 x⋅2x=1−2 2，
当且仅当x=2x，即x= 2时，等号成立，
故当x= 2时，函数f(x)取到最大值且最大值为1−2 2．
故答案为： 2，1−2 2．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14.【答案】π6(答案不唯一，只要符合α=π6+kπ，k∈Z均可)
【解析】解：∵点A(csα,sinα)关于x轴的对称点为B(cs(α−π3),sin(α−π3))，
∴csα=cs(α−π3)，sinα=−sin(α−π3)，
∴α+α−π3=2kπ，k∈Z，
解得α=π6+kπ，k∈Z，
令k=0，得α=π6，
∴角α的一个取值为π6．
故答案为：π6(答案不唯一，只要符合α=π6+kπ，k∈Z均可)．
由题意可知csα=cs(α−π3)，sinα=−sin(α−π3)，所以α+α−π3=2kπ，k∈Z，进而求出α的值即可．
本题主要考查了正弦函数和余弦函数的性质，属于基础题．
15.【答案】①③④
【解析】解：因为函数g(x)是定义域为R的奇函数，
所以g(−x)=−g(x)，故g(−0)=−g(0)，即g(0)=0，故①正确；
又g(4−x)+g(x)=0，所以g(4+x)+g(−x)=0，所以g(4+x)−g(x)=0，
即g(4+x)=g(x)，所以函数周期为T=4，
由图象可知g(2)=0，所以g(−2)=0，由周期知g(4)=0，g(6)=0，
故函数g(x)在(−4,8)内有−2，0，2，4，6共5个零点，故②错误；
因为g(−72)=g(4−72)=g(12),g(2024)=g(0)=0,g(3)=g(3−4)=−g(1)，
由图象可知，g(12)>0,−g(1)<0，又g(0)=0，
所以g(−72)>g(2024)>g(3)，故③正确；
由图象，利用待定系数法可知f(x)=2x+2,−1≤x≤0−x+2,0在同一坐标系下，作出y=f(x)，y=|lg2(x+1)|的图象如下，
由图易知x1=−12,x2=1，
所以结合图象知不等式f(x)≤|lg2(x+1)|的解集(−1,−12]∪[1,2]，故④正确．
故答案为：①③④．
根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合g(x)在(0,2]上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合g(x)在(0,2]上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④．
本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)不等式x2−x−6≤0，即(x+2)(x−3)≤0，解得−2≤x≤3，
所以集合A={x|−2≤x≤3}=[−2,3]；
(2)当m=2时，集合B={x|1结合A=[−2,3]，得A∪B=[−2,5)；
(3)根据题意，非空集合B={x|m−1−2．
若B⊆A，则m−1≥−22m+1≤3，解得−1≤m≤1，即实数m的取值范围是[−1,1]．
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，从而求得集合A；
(2)当m=2时，集合B={x|1(3)根据子集的性质，建立关于m的不等式组，解之即可得到m的取值范围．
本题主要考查不等式的解法、集合的包含关系与子集的定义等知识，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(− 55,−2 55)，
∴sinα=−2 55，csα=− 55，
∴sinα−csα=−2 55+ 55=− 55；
(2)设角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转π2所对的角为β，
则β=α+π2，
∴sinβ=sin(α+π2)=csα=− 55，csβ=cs(α+π2)=−sinα=2 55，
∴点Q(2 55,− 55).
【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义求解；
(2)设角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转π2所对的角为β，则β=α+π2，再结合诱导公式和任意角的三角函数的定义求解即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：csα=−513<0，
则②③符合，①④不符合，
若选②，
(Ⅰ)csα=−513且x∈(π2,π)，
则sinα= 1−cs2α=1213，tanα=sinαcsα=−125；
(Ⅱ)sin(−α)cs(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−csα)sinα⋅(−tanα)=−csαtanα=−−513−125=−25156．
若选③，
(Ⅰ)csα=−513且x∈(π,3π2)，
则sinα=− 1−cs2α=−1213，tanα=sinαcsα=125；
(Ⅱ)sin(−α)cs(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−csα)sinα⋅(−tanα)=−csαtanα=−−513125=25156．
【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
(Ⅱ)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的的诱导公式，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数，
则有f(0)=a4=0，解可得a=0，
当a=0时，f(x)=xx2+4，定义域为R，
有f(−x)=−xx2+4=−f(x)，f(x)为奇函数，符合题意，
故a=0；
(Ⅱ)根据题意，f(x)在[2,+∞)上的单调递减；
证明：由(Ⅰ)的结论，f(x)=xx2+4，
设2≤x1有f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，
又由2≤x1则x1x2−4>0，x2−x1>0，则f(x1)−f(x2)>0，
故f(x)在[2,+∞)上的单调递减；
(Ⅲ)根据题意，设0≤x1有f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，
又由0≤x1则x1x2−4<0，x2−x1>0，则f(x1)−f(x2)<0，
故f(x)在[0,2)上的单调递增，
在区间(0,+∞)上，f(x)的最大值为f(2)=14，且f(x)>0恒成立；
又由f(x)为定义在R上的奇函数，则在区间(−∞,0)上，f(x)的最小值为f(−2)=−14，且f(x)<0恒成立；
f(x)的图象大致如图：

f(x)的最大值为14，最小值为−14，
若g(x)=f(x)−k(k∈R)有两个零点，即函数y=f(x)与直线y=k有两个不同的交点，
必有−1【解析】(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(0)=0，求出a的值，验证可得答案；
(Ⅱ)根据题意，利用作差法分析可得结论；
(Ⅲ)根据题意，分析f(x)在(0,+∞)上的单调性和最值，结合函数的奇偶性可得f(x)的取值范围，由函数与方程的关系，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设投入资金x亿元，则生产A芯片的毛收入y=x4(x>0)，
将(1,1)，(4,2)代入y=kxα，
得k=1kxα=2，解得k=1α=12，
∴生产B芯片的毛收入y= x(x>0)；
(2)由x4> x，得x>16；由x4= x，得x=16；
由x4< x，得0∴当投入资金大于16亿元时，生产A芯片的毛收入更大；
当投入资金等于16亿元时，生产A，B芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大．
(3)由题意知投入x亿元生产B芯片，则投入(40−x)亿元资金生产A芯片，
公司所获净利润f(x)=40−x4+ x−2，
令 x=t，则t2=x，
∴f(x)=40−t24+t−2=−14(t−2)2+9，
故当t=2，即x=4亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元．
【解析】(1)由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式；
(2)在(1)的基础上，得到不等式和方程，得到答案；
(3)表达出f(x)=40−x4+ x−2，换元后求出最值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)存在区间[0,1]，使得y=x2在区间[0,1]上单调递增，且值域为[0,1]，
所以函数y=x2(x∈R)存在“优美区间”；
函数y=3−4x(x>0)不存在“优美区间”，
由y=3−4x(x>0)为(0,+∞)上的增函数，则有f(m)=m，f(n)=n，
也就是说方程3−4x=x有两个不同的解m，n，即方程x2−3x+4=0有两个不同的实数解，
而Δ=9−16=−7<0，可知该方程无实数解，所以y=3−4x(x>0)不存在“优美区间”．
(Ⅱ)函数g(x)=x2+a在(−∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，
如果函数g(x)=x2+a在R上存在“优美区间”[m,n]，则有以下两种情况：
①当[m,n]⊆[0,+∞)时，则f(m)=mf(n)=n，
即m、n是方程x2−x+a=0的两个不相等的非负实根，可得Δ=1−4a>0且a≥0，解得0≤a<14；
②当[m,n]⊆(−∞，0]时，则f(m)=m2+a=nf(n)=n2+a=m，两式相减并化简，可得m+n=−1，则m2+a=−1−m，n2+a=−1−n，
所以m，n是方程x2+x+a+1=0的两个不相等的非正实数根，则Δ=1−4(a+1)>0且a+1≥0，解得−1≤a<−34．
综上所述，如果函数g(x)=x2+a在R上存在“优美区间”，则实数a的取值范围是[−1,−34)∪[0,14)．
【解析】(Ⅰ)根据“优美区间”的定义，结合函数的表达式，得出两个函数关于“优美区间”的结论．
(Ⅱ)根据g(x)的单调区间，分[m,n]⊆[0,+∞)和[m,n]⊆(−∞，0]两种情况讨论，结合“优美区间”的定义及根与系数的关系，求出实数a的取值范围．
本题主要考查二次函数的性质、函数的单调性及其应用、一元二次方程根的判别式等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．

2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷（含解析）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网