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2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末数学试题 （解析版）
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这是一份2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末数学试题 （解析版），共15页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，则∁UA＝（ ）
A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．∅
2．设命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为（ ）
A．∀x∈R，x+1≥0 B．∃x∈R，x+1＜0 C．∀x∈R，x+1＜0 D．∃x∉R，x+1≥0
3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
4．三个实数a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
6．“sinθ＝”是“θ＝”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，若，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ）
A．11% B．22% C．33% D．100%
10．如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于△ABC的周长说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
二、填空题（共5小题）.
11．sin（﹣）＝ ．
12．函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是 ．
13．已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝ ．
14．若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是 ．（写出满足条件的一个f（x）即可）
15．已知函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：
①f（f（1））＝3；
②f（2）＞f（0）；
③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；
④∃a＞0，不等式f（x）≤a的解集为．
其中正确的说法有 ．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．
17．已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．
（1）若1∈M，求实数a的取值范围；
（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R＝．
（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润＝总收入﹣总成本）
（2）若称g（x）＝为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
19．已知函数．
（1）当x∈R时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．设集合S⊆N*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：
①T⊆N*，且T中至少有两个元素；
②对于任意x，y∈S，当y≠x，都有x，y∈T；
③对于任意x，y∈T，若y＞x，则；
则称集合T为集合S的“耦合集”．
（1）若集合S1＝{1，2，4}，求集合S1的“耦合集”T1；
（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，求证：对于任意1≤i＜j≤4，有；
（3）设集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1≥2，求集合S的“耦合集”T中元素的个数．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，则∁UA＝（ ）
A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．∅
【分析】进行补集的运算即可．
解：∵U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，
∴∁UA＝{5，7，9}．
故选：B．
2．设命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为（ ）
A．∀x∈R，x+1≥0 B．∃x∈R，x+1＜0 C．∀x∈R，x+1＜0 D．∃x∉R，x+1≥0
【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．
解：命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为∀x∈R，x+1＜0．
故选：C．
3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
解：由实数a，b在数轴上对应的点可知，b＜a＜0，
对于A，由b＜a＜0，可得＞，故A正确，
对于B，由b＜a＜0，可得a2＜b2，故B错误，
对于C，由b＜a，可得b﹣a＜0，故C错误，
对于D，由b＜a＜0，可得|b|a＝|a|b，故D错误．
故选：A．
4．三个实数a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】可得出0＜0.33＜1，20.3＞1，lg0.3＜0，然后即可得出a，b，c的大小关系．
解：∵20.3＞20＝1，lg0.3＜lg1＝0，0＜0.33＜1，
∴b＞a＞c．
故选：B．
5．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）的值，发现f（1）•f（2）＜0，即可得到零点所在区间．
解：∵f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函数，
f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2+1＞0，
∴f（2）•f（1）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在区间为（1，2）．
故选：A．
6．“sinθ＝”是“θ＝”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
解：sinθ＝推不出θ＝，不是充分条件，
θ＝推出sinθ＝，是必要条件，
故选：B．
7．单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一周为2π，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．
解：因为一周为2π，
故10分钟转了2π，
所以每分钟就转了，
故24分钟转了，
所以OP从起始位置OA转过的角是．
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，若，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】设α的终边经过点（m，n），则由题意β的终边经过点（n，m），利用任意角的三角函数的定义即可得解．
解：∵在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，
∴设α的终边经过点（m，n），则β的终边经过点（n，m），
∵cosα＝＝﹣，
∴sinβ＝＝﹣．
故选：D．
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ）
A．11% B．22% C．33% D．100%
【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比10000比信噪比1000时提升的多少即可．
解：由题意可知，c1＝Wlog2（1+10000）≈Wlog210000，
c2＝Wlog2（1+1000）≈Wlog21000，
故提升了＝＝，
故选：C．
10．如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于△ABC的周长说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【分析】将AC、BC分别关于半径AP，AQ对称的线段为AC″，BC′，将△ABC的周长的最值转化为三条线段BC′+AB+AC″的最值进行分析求解即可．
解：将AC、BC分别关于半径AP，AQ对称的线段为AC″，BC′，
则△ABC的周长L＝BC+AB+AC＝BC′+AB+AC″≥C′C″，
当C′，A，B，C″共线时取等号，
故△ABC的周长有最小值，
最大值无限趋近△OPQ，但取不到，故无最大值．
故选：C．
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11．sin（﹣）＝ ﹣ ．
【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．
解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，
故答案为：﹣．
12．函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是 （1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可．
解：由题意得：，
解得：x＞1且x≠2，
故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．
13．已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．
解：因为α是第三象限角，且cosα＝﹣，
所以sinα＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
14．若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是 f（x）＝x﹣2 ．（写出满足条件的一个f（x）即可）
【分析】可知，f（x）＝x﹣2在定义域R上单调递增，且零点为2，从而得出满足条件的一个f（x）可能为：f（x）＝x﹣2．
解：根据f（x）在定义域上单调递增，且f（x）的零点为2，可写出一个f（x）＝x﹣2．
故答案为：f（x）＝x﹣2．
15．已知函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：
①f（f（1））＝3；
②f（2）＞f（0）；
③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；
④∃a＞0，不等式f（x）≤a的解集为．
其中正确的说法有 ①③ ．（写出所有正确说法的序号）
【分析】直接利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步确定函数的值，利用函数关系式及赋值法的应用判定①②③④的结论．
解：根据函数的图象
对于①，f（f（1））＝3由于f（1）＝0，所以f（0）＝3，故①正确；
对于②，根据函数的图象f（2）＜3，且f（0）＝3，故f（2）＜f（0），故②错误；
对于③，f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1x∈[0，4]与f（x）＝，故③正确；
对于④，当x∈[时，f（x）∈[0，2]，
当x∈[1，2]时，f（x）∈[0，1]，
f（）＝2≠f（2），故④错误；
故答案为：①③．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，A∩B；
（2）根据A⊆C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
解：（1）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
∴A∪B＝{x|1＜x＜3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1＜x＜4}}，
A∩B＝{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x＜4}＝{x|2＜x＜3}}，
（2）若A⊆C，则a≥3．
则实数a的取值范围是{a|a≥3}．
17．已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．
（1）若1∈M，求实数a的取值范围；
（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
【分析】（1）根据不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，把x＝1代入求出a的取值范围．
（2）由题意知和2是方程ax2﹣5x+2＝0的两个根，由根与系数的关系求出a的值，再求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
解：（1）不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，
由1∈M，所以a•12﹣5•1+2＜0，解得a＜3；
所以a的取值范围是（﹣∞，3）．
（2）若M＝{x|＜x＜2}，则和2是方程ax2﹣5x+2＝0的两个根，
由根与系数的关系知，解得a＝2，
所以不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0，
即为：﹣2x2+7x﹣6＜0，
所以2x2﹣7x+6＞0，
解得x＜或x＞2，
所以不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．
18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R＝．
（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润＝总收入﹣总成本）
（2）若称g（x）＝为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【分析】（1）利用利润公式直接解出；
（2）将g（x）表示出来，利用基本不等式，即可求解．
解：（1）当1≤x≤400时，P（x）＝400x﹣﹣20000﹣100x＝﹣；
当x＞400时，P（x）＝80000﹣100x﹣20000＝60000﹣100x；
∴P（x）＝；
（2）由（1）知，g（x）＝，
当1≤x400时，g（x）＝300﹣（）≤300﹣2×＝100，当且仅当，即x＝200时取等号；
当x＞400时，g（x）＝，此时无最值；
故x取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元．
19．已知函数．
（1）当x∈R时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
解：（1）函数，
所以函数的最小正周期为．
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
所以，
故，
当x＝时，函数的最小值为﹣，
当x＝时，函数的最大值为．
20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【分析】（1）由奇函数的性质得，f（0）＝0，代入可求m，进而可求函数解析式；
（2）先设﹣2＜x1＜x2＜2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）结合f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数且为奇函数即可直接求解．
解：（1）由奇函数的性质得，f（0）＝﹣＝0，
故m＝0，f（x）＝，
证明：（2）设﹣2＜x1＜x2＜2，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
故f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）因为f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数且为奇函数，
由f（t﹣1）+f（t）＜0得f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
所以2＞t﹣1＞﹣t＞﹣2，
解得，，
故不等式的解集（，2）．
21．设集合S⊆N*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：
①T⊆N*，且T中至少有两个元素；
②对于任意x，y∈S，当y≠x，都有x，y∈T；
③对于任意x，y∈T，若y＞x，则；
则称集合T为集合S的“耦合集”．
（1）若集合S1＝{1，2，4}，求集合S1的“耦合集”T1；
（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，求证：对于任意1≤i＜j≤4，有；
（3）设集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1≥2，求集合S的“耦合集”T中元素的个数．
【分析】（1）根据“耦合集”定义可得．
（2）由条件②得T2的可能元素为P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，由条件③可知∈S2，得∈S2，同理其它比得证．
（3）由（2）知∈S，得＝p1 即p2＝p12，同理可得p3＝p13，p4＝p14，故T＝{P13，P14，P15，P16，P17}共5个元素．
解：（1）由已知条件②得T1的可能元素为：2，4，8，
又满足条件③，所以T1＝{2，4，8}．
（2）证明：若集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，
由条件②得T2的可能元素为P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，
由条件③可知∈S2，得∈S2，
同理得∈S2，同理得∈S2，∈S2，∈S2，∈S2，
所以对于任意1≤i＜j≤4，有∈S2．
（3）因为p4＞p3＞p2＞p1≥2，
由（2）知∈S，得＝p1 即p2＝p12，
同理可得＝p2，＝p3，
所以p3＝p13，p4＝p14，
又因为T的可能元素为：P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，
所以T＝{P13，P14，P15，P16，P17}共5个元素，
2020-2021学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，则∁UA＝（ ）
A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．∅
2．设命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为（ ）
A．∀x∈R，x+1≥0 B．∃x∈R，x+1＜0 C．∀x∈R，x+1＜0 D．∃x∉R，x+1≥0
3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
4．三个实数a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
6．“sinθ＝”是“θ＝”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，若，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ）
A．11% B．22% C．33% D．100%
10．如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于△ABC的周长说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
二、填空题（共5小题）.
11．sin（﹣）＝ ．
12．函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是 ．
13．已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝ ．
14．若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是 ．（写出满足条件的一个f（x）即可）
15．已知函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：
①f（f（1））＝3；
②f（2）＞f（0）；
③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；
④∃a＞0，不等式f（x）≤a的解集为．
其中正确的说法有 ．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．
17．已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．
（1）若1∈M，求实数a的取值范围；
（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R＝．
（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润＝总收入﹣总成本）
（2）若称g（x）＝为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
19．已知函数．
（1）当x∈R时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．设集合S⊆N*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：
①T⊆N*，且T中至少有两个元素；
②对于任意x，y∈S，当y≠x，都有x，y∈T；
③对于任意x，y∈T，若y＞x，则；
则称集合T为集合S的“耦合集”．
（1）若集合S1＝{1，2，4}，求集合S1的“耦合集”T1；
（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，求证：对于任意1≤i＜j≤4，有；
（3）设集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1≥2，求集合S的“耦合集”T中元素的个数．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，则∁UA＝（ ）
A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．∅
【分析】进行补集的运算即可．
解：∵U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，
∴∁UA＝{5，7，9}．
故选：B．
2．设命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为（ ）
A．∀x∈R，x+1≥0 B．∃x∈R，x+1＜0 C．∀x∈R，x+1＜0 D．∃x∉R，x+1≥0
【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．
解：命题P：∃x∈R，x+1≥0，则￢P为∀x∈R，x+1＜0．
故选：C．
3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
解：由实数a，b在数轴上对应的点可知，b＜a＜0，
对于A，由b＜a＜0，可得＞，故A正确，
对于B，由b＜a＜0，可得a2＜b2，故B错误，
对于C，由b＜a，可得b﹣a＜0，故C错误，
对于D，由b＜a＜0，可得|b|a＝|a|b，故D错误．
故选：A．
4．三个实数a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】可得出0＜0.33＜1，20.3＞1，lg0.3＜0，然后即可得出a，b，c的大小关系．
解：∵20.3＞20＝1，lg0.3＜lg1＝0，0＜0.33＜1，
∴b＞a＞c．
故选：B．
5．函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）的值，发现f（1）•f（2）＜0，即可得到零点所在区间．
解：∵f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函数，
f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2+1＞0，
∴f（2）•f（1）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在区间为（1，2）．
故选：A．
6．“sinθ＝”是“θ＝”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
解：sinθ＝推不出θ＝，不是充分条件，
θ＝推出sinθ＝，是必要条件，
故选：B．
7．单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一周为2π，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．
解：因为一周为2π，
故10分钟转了2π，
所以每分钟就转了，
故24分钟转了，
所以OP从起始位置OA转过的角是．
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，若，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】设α的终边经过点（m，n），则由题意β的终边经过点（n，m），利用任意角的三角函数的定义即可得解．
解：∵在平面直角坐标系中，角α，角β的终边关于直线y＝x对称，
∴设α的终边经过点（m，n），则β的终边经过点（n，m），
∵cosα＝＝﹣，
∴sinβ＝＝﹣．
故选：D．
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ）
A．11% B．22% C．33% D．100%
【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比10000比信噪比1000时提升的多少即可．
解：由题意可知，c1＝Wlog2（1+10000）≈Wlog210000，
c2＝Wlog2（1+1000）≈Wlog21000，
故提升了＝＝，
故选：C．
10．如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则关于△ABC的周长说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【分析】将AC、BC分别关于半径AP，AQ对称的线段为AC″，BC′，将△ABC的周长的最值转化为三条线段BC′+AB+AC″的最值进行分析求解即可．
解：将AC、BC分别关于半径AP，AQ对称的线段为AC″，BC′，
则△ABC的周长L＝BC+AB+AC＝BC′+AB+AC″≥C′C″，
当C′，A，B，C″共线时取等号，
故△ABC的周长有最小值，
最大值无限趋近△OPQ，但取不到，故无最大值．
故选：C．
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11．sin（﹣）＝ ﹣ ．
【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．
解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，
故答案为：﹣．
12．函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是 （1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可．
解：由题意得：，
解得：x＞1且x≠2，
故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．
13．已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．
解：因为α是第三象限角，且cosα＝﹣，
所以sinα＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
14．若函数f（x）在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f（x）可能是 f（x）＝x﹣2 ．（写出满足条件的一个f（x）即可）
【分析】可知，f（x）＝x﹣2在定义域R上单调递增，且零点为2，从而得出满足条件的一个f（x）可能为：f（x）＝x﹣2．
解：根据f（x）在定义域上单调递增，且f（x）的零点为2，可写出一个f（x）＝x﹣2．
故答案为：f（x）＝x﹣2．
15．已知函数f（x）的图象如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f（x）的说法：
①f（f（1））＝3；
②f（2）＞f（0）；
③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；
④∃a＞0，不等式f（x）≤a的解集为．
其中正确的说法有 ①③ ．（写出所有正确说法的序号）
【分析】直接利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步确定函数的值，利用函数关系式及赋值法的应用判定①②③④的结论．
解：根据函数的图象
对于①，f（f（1））＝3由于f（1）＝0，所以f（0）＝3，故①正确；
对于②，根据函数的图象f（2）＜3，且f（0）＝3，故f（2）＜f（0），故②错误；
对于③，f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1x∈[0，4]与f（x）＝，故③正确；
对于④，当x∈[时，f（x）∈[0，2]，
当x∈[1，2]时，f（x）∈[0，1]，
f（）＝2≠f（2），故④错误；
故答案为：①③．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，A∩B；
（2）根据A⊆C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
解：（1）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．
∴A∪B＝{x|1＜x＜3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1＜x＜4}}，
A∩B＝{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x＜4}＝{x|2＜x＜3}}，
（2）若A⊆C，则a≥3．
则实数a的取值范围是{a|a≥3}．
17．已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．
（1）若1∈M，求实数a的取值范围；
（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
【分析】（1）根据不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，把x＝1代入求出a的取值范围．
（2）由题意知和2是方程ax2﹣5x+2＝0的两个根，由根与系数的关系求出a的值，再求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．
解：（1）不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，
由1∈M，所以a•12﹣5•1+2＜0，解得a＜3；
所以a的取值范围是（﹣∞，3）．
（2）若M＝{x|＜x＜2}，则和2是方程ax2﹣5x+2＝0的两个根，
由根与系数的关系知，解得a＝2，
所以不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0，
即为：﹣2x2+7x﹣6＜0，
所以2x2﹣7x+6＞0，
解得x＜或x＞2，
所以不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．
18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R＝．
（1）将利润P（x）（单位：元）表示为月产量x的函数；（利润＝总收入﹣总成本）
（2）若称g（x）＝为月平均单件利润（单位：元），当月产量x为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【分析】（1）利用利润公式直接解出；
（2）将g（x）表示出来，利用基本不等式，即可求解．
解：（1）当1≤x≤400时，P（x）＝400x﹣﹣20000﹣100x＝﹣；
当x＞400时，P（x）＝80000﹣100x﹣20000＝60000﹣100x；
∴P（x）＝；
（2）由（1）知，g（x）＝，
当1≤x400时，g（x）＝300﹣（）≤300﹣2×＝100，当且仅当，即x＝200时取等号；
当x＞400时，g（x）＝，此时无最值；
故x取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元．
19．已知函数．
（1）当x∈R时，求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
解：（1）函数，
所以函数的最小正周期为．
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
所以，
故，
当x＝时，函数的最小值为﹣，
当x＝时，函数的最大值为．
20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【分析】（1）由奇函数的性质得，f（0）＝0，代入可求m，进而可求函数解析式；
（2）先设﹣2＜x1＜x2＜2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）结合f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数且为奇函数即可直接求解．
解：（1）由奇函数的性质得，f（0）＝﹣＝0，
故m＝0，f（x）＝，
证明：（2）设﹣2＜x1＜x2＜2，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
故f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数；
（3）因为f（x）在区间（﹣2，2）上是减函数且为奇函数，
由f（t﹣1）+f（t）＜0得f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
所以2＞t﹣1＞﹣t＞﹣2，
解得，，
故不等式的解集（，2）．
21．设集合S⊆N*，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：
①T⊆N*，且T中至少有两个元素；
②对于任意x，y∈S，当y≠x，都有x，y∈T；
③对于任意x，y∈T，若y＞x，则；
则称集合T为集合S的“耦合集”．
（1）若集合S1＝{1，2，4}，求集合S1的“耦合集”T1；
（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，求证：对于任意1≤i＜j≤4，有；
（3）设集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1≥2，求集合S的“耦合集”T中元素的个数．
【分析】（1）根据“耦合集”定义可得．
（2）由条件②得T2的可能元素为P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，由条件③可知∈S2，得∈S2，同理其它比得证．
（3）由（2）知∈S，得＝p1 即p2＝p12，同理可得p3＝p13，p4＝p14，故T＝{P13，P14，P15，P16，P17}共5个元素．
解：（1）由已知条件②得T1的可能元素为：2，4，8，
又满足条件③，所以T1＝{2，4，8}．
（2）证明：若集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，
由条件②得T2的可能元素为P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，
由条件③可知∈S2，得∈S2，
同理得∈S2，同理得∈S2，∈S2，∈S2，∈S2，
所以对于任意1≤i＜j≤4，有∈S2．
（3）因为p4＞p3＞p2＞p1≥2，
由（2）知∈S，得＝p1 即p2＝p12，
同理可得＝p2，＝p3，
所以p3＝p13，p4＝p14，
又因为T的可能元素为：P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，
所以T＝{P13，P14，P15，P16，P17}共5个元素，
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