安徽省安庆市第七中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市第七中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．等差数列的公差为2，且，则（ ）
A．17B．19C．21D．23
2．设函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．在数列中，，则（ ）
A．B．C．16D．32
4．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，则（ ）
A．0B．C．1D．
6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
7．一矩形地图被分割成了4块，小刚打算对该地图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色．现有5种颜色可供选择（5种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．180B．240C．80D．260
8．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1)B．(－5,1)
C．[－2,1)D．(－2,1)
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有三个极值点B．
C．函数在上单调递增D．是的极小值点
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．记数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为D．数列的前2025项的和为-2024
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是等差数列的前项和，若，则 ．
13．从甲､乙等6名医生中任选3名分别去三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲､乙不能去A学校，则共有 种不同的选派方法.
14．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
(2)当时，求的单调区间．
16．已知数列是等差数列，且，.求：
(1)数列的通项公式；
(2)设，求数列前5项和为.
17．用0，1，2，3，…，9这十个数字．
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
18．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．已知函数（）．
(1)当时，求函数在区间上的最值；
(2)若在定义域内仅有一个零点，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由等差数列知.
故选C.
2．【答案】D
【详解】设，，
则，，
所以，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】，则，
则是公比为2的等比数列，
∴.
故选D．
4．【答案】C
【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，
将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法，
根据乘法原理，共有种不同的排法.
故选C.
5．【答案】B
【详解】由题设，则.
故选B.
6．【答案】A
【详解】等差数列中，，解得，
等比数列中，，，
所以.
故选A.
7．【答案】D
【详解】四部分分别记为ABCD，如图所示，
由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种．
故选D．
8．【答案】C
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】由图知，时，即在上单调递增，
时，即在上单调递减，故，
时，即在上单调递增，易知在上单调递增，
所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点，
综上，A错，B、C、D对.
故选BCD.
10．【答案】BC
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有种选择方案，故A错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故B正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故C正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），故D错误.
故选BC.
11．【答案】AC
【详解】数列的前项和，当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列，
所以，
则.
13．【答案】80
【详解】先从除去甲乙的4名医生中，选出1人去A学校，有种选择，再从包括甲乙的5名医生中，选出2名医生，去两所学校，有种选择，
所以共有种选派方法.
14．【答案】/
【详解】因为，所以，
即，
令，所以，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，；单调递减区间为
【详解】（1）因为，
所以，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，故.
（2）因为，所以，则，
令，得或；令，得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
16．【答案】(1)
(2)682
【详解】（1）等差数列{an}中，设公差为d,
由，，可得，
解得：，，
所以；
（2）由（1）知，
由，可得，
则数列是首项为2，公比为4的等比数列，
所以.
17．【答案】(1)900；
(2)648；
(3)379
【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法，
根据分步乘法计数原理，共有个.
（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，
根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．
（3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类：
第一类，满足条件的一位自然数：有10个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个，
所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）.
18．【答案】(1)，
(2)前项和
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和．
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，则．
故，解得，，∴，
，
由题意，得，解得，
；．
（2）由（1）知，．设其前项和为，
，①
，②
①②，得
．
．
19．【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）当时，，则，
当时，当时，
所以，在上单调递减，在上单调递增，则．
又，＞，所以．
（2）由，得，令，则，
令得，令得，
∴在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减，
∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向．
作出函数的图象和直线，
如图示，在定义域内有且仅有一个零点,即和有且只有一个交点，
由图象知，的取值范围是．