安徽省安庆市第七中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市第七中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分.等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 等差数列的公差为2，且，则（ ）
A. 17B. 19C. 21D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】应用等差数列的性质及已知求值即可.
【详解】由等差数列知.
故选：C
2. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数求导公式求，再代入即可.
【详解】设，，
则，，
所以，
所以.
故选：D.
3. 在数列中，，则（ ）
A. B. C. 16D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算．
【详解】，则，
则是公比为2的等比数列，
∴，
故选：D．
4. 要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果.
【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，
将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法，
根据乘法原理，共有种不同的排法.
故选：C
5. 已知函数，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，并应用导数的定义求值即可.
【详解】由题设，则.
故选：B
6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列、等比数列性质计算得解.
【详解】等差数列中，，解得，
等比数列中，，，
所以.
故选：A
7. 一矩形地图被分割成了4块，小刚打算对该地图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色．现有5种颜色可供选择（5种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（ ）
A. 180B. 240C. 80D. 260
【答案】D
【解析】
【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数．
【详解】四部分分别记为ABCD，如图所示，
由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种．
故选：D．
8. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. [－5,1)B. (－5,1)
C. [－2,1)D. (－2,1)
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有三个极值点B.
C. 函数在上单调递增D. 是的极小值点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据的图象确定函数在各区间的符号，进而判断的单调性，依次判断各项的正误即可.
【详解】由图知，时，即在上单调递增，
时，即在上单调递减，故f−2>f−1，
时，即在上单调递增，易知在上单调递增，
所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点，
综上，A错，B、C、D对.
故选：BCD.
10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
11. 记数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 数列是公差为1的等差数列
C. 数列的前项和为D. 数列的前2025项的和为-2024
【答案】AC
【解析】
【分析】根据求出，再结合等差数列性质公式，利用裂项相消法和分组求和计算判定即可.
【详解】数列的前项和，当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是等差数列的前项和，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】应用等差数列片段和的性质有，结合已知即可得.
【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列，
所以，
则.
故答案为：
13. 从甲､乙等6名医生中任选3名分别去三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲､乙不能去A学校，则共有___________种不同的选派方法.
【答案】80
【解析】
【分析】先考虑A学校，再考虑两所学校，利用排列和组合知识进行求解.
【详解】先从除去甲乙的4名医生中，选出1人去A学校，有种选择，再从包括甲乙的5名医生中，选出2名医生，去两所学校，有种选择，
所以共有种选派方法.
故答案为：80
14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果.
【详解】因为，所以，
即，令，所以，
又，所以上单调递增，所以，
即，令，所以，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）当时，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，；单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）先求导数，由条件知，然后求解；
（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间
【小问1详解】
因，
所以，
因为曲线在处切线与直线平行，
所以，故.
【小问2详解】
因为，所以，则，
令，得或；令，得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
16. 已知数列是等差数列，且，.求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，求数列前5项和为.
【答案】（1）
（2）682
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，可得答案；
（2）由（1）的结论可得的表达式，根据等比数列的前n项和，即可求得答案.
【小问1详解】
等差数列{an}中，设公差为d,
由，，可得，
解得：，，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
由，可得，
则数列是首项为2，公比为4的等比数列，
所以.
17. 用0，1，2，3，…，9这十个数字．
（1）可组成多少个三位数？
（2）可组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
【答案】（1）900；
（2）648； （3）379
【解析】
【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案.
（3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案.
【小问1详解】
要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法，
根据分步乘法计数原理，共有个.
【小问2详解】
要确定一个无重复数字三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，
根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．
【小问3详解】
作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类：
第一类，满足条件的一位自然数：有10个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个，
所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）.
18. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）前项和
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和．
【小问1详解】
由题意，设等差数列公差为，等比数列的公比为，则．
故，解得，，则，
，
由题意，得，解得．
；．
【小问2详解】
由（1）知，．设其前项和为，
，①
，②
①②，得
．
．
19. 已知函数（）．
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）若在定义域内仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出函数的极值点，并求极值和端点处的函数值，可得函数最大值与最小值；
（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有一个交点，求的取值范围．
【小问1详解】
当时，，则，
当时，当时，
所以，在上单调递减，在上单调递增，则．
又，＞，所以．
【小问2详解】
由，得，令，则，
令得，令得，
∴在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减，
∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向．
作出函数的图象和直线，
如图示，在定义域内有且仅有一个零点,即和有且只有一个交点，