安徽省安庆市部分示范高中2024−2025学年高一下学期第一次联考数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市部分示范高中2024−2025学年高一下学期第一次联考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．如图，在中，，，，则（ ）

A．2B．C．D．4
4．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形
5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
8．如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知、都是复数，下列选项正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则．
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．与的图象关于直线对称
B．与的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，与的图象恰有4个交点
11．在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 .
14．如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数．
(1)若，求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，

(1)请用来表示平行四边形的面积；
(2)若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，即．
故选A．
【思路导引】利用分母有理化对进行化简，从而得到共轭复数，代入到计算出结果.
2．【答案】D
【详解】
，
因为，所以当时，的最大值为2.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为，
所以，
即,
所以，即，
因为,
所以
，
故选:C.
4．【答案】B
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选B
5．【答案】A
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选A
6．【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选C.
7．【答案】D
【详解】由，
故，即，
如图，设，则是等边三角形，
向量满足与的夹角为, ，
因为点在外且为定值，
所以的轨迹是两段圆弧，是弦AB所对的圆周角，
因此：当是所在圆的直径时,取得最大值，
在中，由正弦定理可得：，
故取得最大值4.
故选D.
8．【答案】A
【详解】因三点共线，则存在，使，
因，则点为的中点，故，
又点在上，故，解得，故①，
因三点共线，则存在，使得②，
由①，②可得，消去，即得，即，
于是，
当且仅当时，的最小值为.
故选A.
9．【答案】BD
【分析】AC选项，举出反例；B选项，，设，，计算出，得到，计算出，B正确；D选项，设，，根据，得到，或，故.
【详解】A选项，设，，满足，但，A错误；
B选项，若，设，，
故，
则
，
又，故，B正确；
C选项，设，，满足，不满足，C错误；
D选项，设，，
则，，
因为，所以，
解得，或，故，D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】由题得，，
A：与的图象关于直线对称的函数为
，故A正确；
B：当时，，
，所以与的图象不关于点对称，故B错误；
C：，
当时，，
令，则，在上恒小于0，
所以在上恒大于0，即，即，故C正确；
D：令，即，
得（无解）或，
解得，
又，所以，
解得（），所以，
即函数图象共有4个交点，故D正确.
故选ACD．
11．【答案】AB
【详解】对于A，由，得，
由余弦定理得，即，
得，又，故，
∴，即，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于D，如图，分别取的中点，连接，，
所以，
，
，所以D错误；

对于C，，
由，可知，
得，解得：，，故，所以C错误．
故选AB.
12．【答案】
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
因此
13．【答案】
【详解】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以
14．【答案】
【详解】因为，，又，，
所以，
又，
所以，又，
的面积.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）依题意向量
于是有
为与的夹角，
，
16．【答案】（I）；（II）
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
17．【答案】(1)．
(2)．
【详解】（1）由余弦定理，得，即
整理得， 所以，
又，所以．
（2）因为，所以．
因为，即
当且仅当时等号成立
所以．故面积的最小值为．
18．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，则，，又，；
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又为锐角三角形，，
，，
，，，
故周长的取值范围为．
19．【答案】(1)
(2)①，；②
【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，

所以，
所以
（2）①若，由题意可得，
由（1）知：
故平行四边形的面积
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为.
②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即

又，则
因，即，
则，，
解得：，，
，
由点是弧上一动点，则，则，
所以即.
则的取值范围为.