安徽省安庆市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省安庆市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）．
A. 米/秒B. 米/秒C. 米/秒D. 米/秒
3. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A. 60B. 64C. 80D. 125
6. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 定义在 上奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.）
9. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 函数的最小值是
B. 在区间上单调
C. 是函数极值点
D. 曲线在附近比在附近上升得更缓慢
10. 已知函数，下列结论中正确是（ ）
A. 函数在时，取得极小值；
B. 对于，恒成立；
C. 若，则；
D. 若对于恒成立，则的最大值为．
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）．
A. 在处取得极大值
B 有两不同零点
C.
D. 若在上恒成立，则
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若，则______．
13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
14. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为________
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，表示平面上点.问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）在（1）中任取一点，求该点在第一象限或在第二象限的概率？
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
17. 已知函数.
（1）若求点处切线方程；
（2）若函数有两个不同的极值点，且，.
（i）求a的取值范围；
（ii）求的极大值与极小值之和的取值范围.
18. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的最小值；
（2）若，且在R上恒成立，求的最大值；
（3）求证：.
安庆二中2024—2025学年度第二学期第一次月考
高二数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
2. 已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）．
A. 米/秒B. 米/秒C. 米/秒D. 米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的概念，直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.
【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，
故选：B.
3. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析函数有两个零点，再探讨函数的单调性即可判断.
【详解】令，可得，，
故有两个零点，排除A、B，
又，
当时，或，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，由单调性可排除D.
故选：C.
4. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
∴有两个不相等的实数根，∴．
故选：C．
5. 用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A. 60B. 64C. 80D. 125
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，
用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），
用3种颜色，不同着色方法有（种），
所以不同着色方法共有（种）.
故选：C
6. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得函数解析式，进而利用导数求其在点处的切线方程即可.
【详解】解：∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线处的切线方程是：，即.
故选：D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
8. 定义在 上奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】因为是奇函数，可得是偶函数，
又因为，所以，
令，可得，所以在上单调递增，
因为且奇函数，
可得，则，
所以的周期为的周期函数，
因为，所以，
则不等式，即为，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：C．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.）
9. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 函数的最小值是
B. 在区间上单调
C. 是函数的极值点
D. 曲线在附近比在附近上升得更缓慢
【答案】BD
【解析】
【分析】由图形，根据导数在研究函数单调性的应用，结合极值点的概念即可判断ABC；根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】对于A：由图可知，单调递减，单调递增，
所以，故A错误；
对于B：由图可知，单调递增，故B正确；
对于C：由图可知单调递增，单调递增，
所以不是函数的极值点，故C错误；
对于D：由导数的几何意义知，，且，
所以在处的切线的斜率小于处的切线的斜率，
即曲线在附近比在附近上升得更加缓慢，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数在时，取得极小值；
B. 对于，恒成立；
C. 若，则；
D. 若对于恒成立，则的最大值为．
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数研究在上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造，应用导数并结合分类讨论的方法研究上、恒成立时a的取值范围，即可判断正误.
【详解】，
∴上，即上单调递减，则，
∴A错误，B正确；
令，则在上，即单调递减，
∴时，有，C正确；
，则等价于，
令，则，，
∴当时，，则单调递增，故；
当时，，则单调递减，故；
当时，存在使，
∴此时，上，则单调递增，；
上，则单调递减，
∴要使在上恒成立，则，得.
综上，时，上恒成立，
∴若，对于恒成立，则的最大值为，D正确.
故选：BCD.
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）．
A. 在处取得极大值
B. 有两不同零点
C.
D. 若在上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；
对于B，令，则可得函数的零点；
对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；
对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可
【详解】函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，
由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，
， 由时，函数为减函数知，
故成立，故正确，
若在上恒成立，
则，
设，，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
成立，故正确.
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据导数的几何定义即可计算.
【详解】．
故答案为：1.
13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
14. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增．
即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，
可得的范围是故答案为
考点：导数的应用
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，表示平面上的点.问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）在（1）中任取一点，求该点在第一象限或在第二象限的概率？
【答案】（1）36 （2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用分步乘法公式，即可求解；
（2）根据计数原理，结合古典概型概率公式，即可求解.
【小问1详解】
分别有6种选择方法，
所以可表示平面上个不同的点；
【小问2详解】
若该点在第一象限或在第二象限，则，且，
所以可以取-3，-2，-1,1,2，共5种方法，可以取1,2，共2种方法，
所以满足条件的共有种方法，
所以该点在第一象限或在第二象限的概率.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）减区间为，增区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间；
（2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得到的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，当时，
求导得，整理得：.
由得；由得，
从而，函数减区间为，增区间为；
【小问2详解】
由已知得时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.
令函数，由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以a的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）若求点处切线方程；
（2）若函数有两个不同的极值点，且，.
（i）求a的取值范围；
（ii）求的极大值与极小值之和的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，依次求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程；
（2）（i）由题意得到方程有两个不等的正实根，利用根的判别式和韦达定理即可求得a的取值范围；（ii）设，利用函数求导，判断函数的单调性，得到在时取得极小值，在时取得极大值，化简计算得，令，判断其在上的单调性，即可求得其范围.
【小问1详解】
当时，，则，
依题意，，
则函数在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
（i）因，
又函数有两个不同的极值点
故方程有两个不等的正实根，
则Δ=1-4a>0x1+x2=1>0x1x2=a>0，解得，
即a的取值范围为；
（ii）不妨设，由，可得或；由，可得，
即函数在上单调递增；在上单调递减，
故函数在时取得极小值，
在时取得极大值为，
则的极大值与极小值之和为，
设，，则在上恒成立，
即函数在上单调递增，故，
时，，
故的极大值与极小值之和的取值范围为.
18. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的最小值；
（2）若，且在R上恒成立，求的最大值；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，根据单调性可得的最小值；
（2）令，求导得到的最小值，令，得到，再令，求导得到的最大值，即得结果；
（3）令，对求导，通过分析的单调性即可求证.
【小问1详解】
因为，所以
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以.
【小问2详解】
令，，
由得出；由得出，
；，，
令，；，
时，，单调递增；时，，单调递减，
则是的极大值点，，的最大值为；
【小问3详解】
证明：要证，
只需证明：对于恒成立，
令，则，
当时，令，则，
在上单调递增，即在上为增函数
又因为，，
所以存在使得
由，得即即
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，即.