安徽省安庆市六校2024−2025学年高二下学期联考数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市六校2024−2025学年高二下学期联考数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
2．高二年级名同学去听同时举行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同选择的种数是（ ）
A．B．C．D．
3．乘积的展开式中项数为（ ）
A．38B．39C．40D．41
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
8．若函数fx=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则b-a=( )
A．-15B．-6C．6D．15
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．的单调递减区间是
B．是极小值，是极大值
C．没有最小值，也没有最大值
D．有最大值，没有最小值
10．已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
11．已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图像有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
三、填空题（本大题共3小题）
12．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有 （用数字作答）
13．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．若函数在处取得极大值，则的极小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
16．已知二次函数，其图象过点，且．
(1)求的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程．
17．设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知函数，，
(1)求的单调区间和极值点；
(2)求使恒成立的实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在上恒单调递减，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选D
2．【答案】A
【详解】根据题意，每名同学可自由选择听个讲座中的任意一个，
所以每位同学有种选择方法，由分步计数原理知，名同学共有种选择方法，
故选A.
3．【答案】C
【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项.
故选C.
4．【答案】A
【详解】在等比数列中，，
则，
设等比数列的公比为，则，
所以同号，又，
所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】点在曲线上，
由题意，，切线斜率为，
因此，所求方程为，即．
故选C．
6．【答案】A
【详解】函数的定义域为，
，令，即，
解得：，所以增区间为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】由，得，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数有最小值，即.
故选C.
8．【答案】D
【解析】由fx=x3-ax2-bx+a2，得f'x=3x2-2ax-b，
由题意可知f'1=0，f1=10，得到3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,解得a=3,b=-3,或a=-4,b=11.
当a=3,b=-3时，f'x=3x2-6x+3=3x2-2x+1=3x-12≥0且不恒等于0，则fx在R上单调递增，所以x=1不是极值点；
当a=-4,b=11时，f'x=3x2+8x-11=3x+11x-1，所以fx在-∞,-113，1,+∞上单调递增，在-113,1上单调递减，所以fx在x=1处取极小值10，符合题意.所以a=-4,b=11，所以b-a=15.故选D.
【易错警示】可导函数fx在x=a处取得极值，则f'a=0；反之，f'a=0时，fx在x=a处未必取得极值，做题时求得f'a=0时a的值后，要注意检验.
9．【答案】BD
【详解】对于A，由，得，当时，，是的单调递增区间，故A错误；
对于B，由A知，在，上是减函数，在上是增函数，是的极小值，是的极大值，故B正确；
对于C，D，当时，恒成立，且在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，又当时，，无最小值，故C错误，D正确．
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】由，
由得：
在区间上单调递减，故A正确；
由或得：
在区间上单调递增，
所以在时取到极小值，即，故B正确；
当，
则在处的切线方程是：，
在处的切线方程是：，故C错误；
由
，
则关于点成中心对称，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】52
【详解】求符合题意的三位数个数，有两类办法：
0在个位，有个没有重复数字的三位偶数；
0不在个位，排个位有种方法，再排百位有种方法，排十位有种方法，
此时共有个没有重复数字的三位偶数，
所以没有重复数字的三位偶数共有个.
13．【答案】
【详解】由，得，
则点处的切线的斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即．
14．【答案】
【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极大值，可得，
即，解得，
将，代入可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数取得极小值，极小值为.
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）由题意,，则，
又，所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由题意，，
由，；由，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，即为，
又，可得，
解得．
（2）由（1）知，
则，
则曲线在处的切线斜率为，
又∵，∴切点为，
则曲线在处的切线方程为，即为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，，
则，即是等差数列，合乎题意，
故对任意的，.
（2），
18．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点：.
(2)
【详解】（1）因为（），所以.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以函数有极小值点：.没有极大值点.
（2）由恒成立（）恒成立.
即（）恒成立.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为：.
所以.
所以实数的取值范围是：.
19．【答案】(1)函数的单调增区间是，单调减区间是和
(2)
【详解】（1）当时，，，
，
由，可得，
由，可得或，
所以函数的单调增区间是，单调减区间是和；
（2）由题知在上恒成立；
即在上恒成立，
令，易知当，取最小值，
所以，
所以实数的取值范围是．