备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题09二次函数(原卷版+解析)

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►考向一 二次函数中的平移
1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故选∶D．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小；故②正确；
，
抛物线为，
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
►考向二 二次函数的图象与性质
1．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，
当时，，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当时，则，
令，即，
，
抛物线与直线没有交点，
抛物线开口向上，
当时，这个函数的图象在函数图象的上方；
故②正确；
二次函数是常数），
开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随自变量增大而增大，
故③错误；
，
顶点为，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
►考向三 二次函数解析式
1．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；
（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；
（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，
解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，B2,1代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，B2,1代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵B2,1，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
►考向四 二次函数与几何结合
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)①6；②且；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；
③，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）解：①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
2．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】(1)菱形
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；
（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可；
（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可；
（）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，则，
解得：或，
∴或；
（2）设，则，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当时，有最大，最大值为；
（3）连接，
∵四边形是正方形，
∴，
即点在对角线所在直线上运动，
如图，作关于的对称点，连接，过作于点，
∴，四边形为矩形，
则点三点共线，，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
►考向五 二次函数最值问题
1．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
【答案】(1)
(2)2或1
(3)整数a有4个
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．
【详解】（1）解：有题意知
，
当时，y取得最小值8；
（2）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴
，
∵，
∴，化解得，解得或，
则点或，
∴点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，化简得，
∴，
则整数a有4个．
2．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
【答案】(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【详解】（1）解：当时，，即；
（2）解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，

∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．

(1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；
(3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论；
（3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：分别将，代入，
得，
解得．
函数表达式为；
（2）解：连接，
，
．
当时，，即点，当时，，即点．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：设，则，．
当时，．
令，
解得，．
，
，
点在的上方（如图1）．

设，
故，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知：

当时，取得最大值．
解得或（舍去）．
②当时，得，
由图3可知：

当时，取得最大值．
解得（舍去）．
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值．
►考向六 二次函数的解决问题
1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
2．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
3．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
(1)求关于的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
；
（2）解：根据函数解析式得函数对称轴，
故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大；
（3）解：，
延长与过点作的线交于点，令，
，，
，
，
，
，
，
延长交与点，
，
，
，
，
，
．
1．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A． B．1C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，
∵，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
故选：D．
2．（2024·江苏无锡·二模）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件B．4万件C．5万件D．6万件
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用．根据生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数以及表格中的数据，得到生产成本和销售价格的表达式，进而根据利润每件产品的利润生产数量，把相关数值代入可生产利润得关于生产数量的二次函数，进而根据二次函数的性质可得生产数量为多少时，利润最大．
【详解】解：设生产数量为万件，生产成本为元件，销售价格为元件．
生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，
设，．
，符合，
，
解得：．
．
，符合，
．
解得：．
．
设生产利润为，则
．
，
当时，利润最大,
即为获最大利润，生产数量应为4万件．
故选：B．
3．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是边长为4的菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
由平移的性质得，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正确；
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③错误；
作于点，于点，
设，则，，
∴，，
∴等边、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
④正确．
综上，①②④正确，
故选：D．
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、CF之间距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键．
如详解中的辅助线作图法，可证，并设，然后将相关线段都用m与t的代数式表示出来，再证得出比例式然后可得，可求得m的最大值，从而可求得的最大值为
【详解】如图，自C点作延长线的垂线，垂足为点M；自，垂足为点N．
设，由题意可知，，
∴，，
∵
∴，则，
∵，
∴，又
∴
∴
∴，
即
即的最大值为，
∴，
∴
即的最大值为
即直线之间距离的最大值为
故答案为：
5．（2024·江苏苏州·二模）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ．
【答案】170元
【分析】本题考查函数模型的构建，配方法求函数的最值，设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，根据利润函数表示出利润，再利用配方法求出函数的最值．
【详解】解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，
∴总利润，
∵，，x为正整数，
∴当或10时，y有最大值，
即能获得的最大利润为170元，
故答案为：170元．
6．（2024·江苏苏州·一模）如图，点是二次函数（为常数）的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，由旋转得，，进而可证明，得到，，又由二次函数可得B0,3，，即可得，把代入二次函数的解析式解答即可求解，证明得到点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，

则，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
把代入得，，
∴B0,3，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵是二次函数的对称轴与轴的交点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点恰好落在二次函数的图像上，
∴，
整理得，，
解得，，
∴的值为或，
故答案为：或．
7．（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格：
（）__________；__________．
小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下：
（）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式．
（）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？
【答案】（），；（）；（）个．
【分析】（）由表格数据可得，即得，据此即可求解；
（）由表格数据可得是的二次函数，顶点为原点，设，利用待定系数法解答即可求解；
（）把代入（）中所得的函数表达式求出的值即可求解；
本题考查了正比例函数和二次函数的应用，根据表示判定出变量之间的函数关系是解题的关键
【详解】解：（）由表格可得，，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（）由表可知，是的二次函数，顶点为原点，设，
把代入得，，
∴，
∴小刚使用的弹簧力与的函数表达式为；
（）把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴他最多可以测个的物体．
8．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧．
(1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________；
(2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值；
(3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最小为3
【分析】（1）把一次函数解析式化为即可得到定点坐标；
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到,然后求得，然后过点A作轴于点G，点B作轴于点F，则有，即，即，联立解方程即可；
（3）连接CD，则轴且，则，然后求出，根据题意得，然后根据，利用二次函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：
∴直线经过定点.
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
设点A的坐标为，点B的坐标为，
联立与 得,
∴,
∴，
如图，过点A作轴于点G，点B作轴于点H，
则，
∴，
∴，
∴，即，
即，即，
∴
∴，
即，
解得：；
（3）如图，连接CD，
则轴且，
∴，
当x=0时，，
∴点F的坐标为，
当x=0时，，
∴点E的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，或
当点E在F上方时，
又∵，
∴当时，最小，最小为3；
当点E在F下方时，
又∵
综上所述，最小值为3．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像和性质，一元二次方程与二次函数的联系，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点A

(1)求点A的坐标；
(2)点B为抛物线上横坐标等于的点，点M为线段的中点，点P为直线下方抛物线上的一动点．当的面积最大时，过点P作轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足，求的最小值；
(3)三年了，你应该都没有做过最后一题最后一问吧，能坚持看完这道题目的你已经非常优秀了，请你写出你认为最后几天可以再复习巩固复习的三个知识点
【答案】(1)
(2)
(3)见解析（答案不唯一）
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求出顶点坐标即可得到答案；
（2）先求出，进而得到直线解析式为；如图所示，过点P作轴交于H，过点P作于G，根据，，推出当最大时，最大，即此时最大；设，则，则，则可根据，得到当时，最大，即此时最大，则；如图所示，在上取一点T使得，连接，则，，证明，推出，得到，则当点Q在上时的值最小，即此时的值最小，最小值为，在中，由勾股定理得，则的最小值为；
（3）言之有理即可．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴点A的坐标为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵点M为的中点，
∴；
设直线解析式为，则，解得，
∴直线解析式为；
如图所示，过点P作轴交于H，过点P作于G，
∵，
∴当最大时，最大；
又∵，
∴当最大时，最大，即此时最大；
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，最大，即此时最大，
∴此时，
如图所示，在上取一点T使得，连接，
∵轴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q在上时的值最小，即此时的值最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为；

（3）解：认为最后几天可以再复习巩固复习的三个知识点为平行四边形及其特殊平行四边形的相关知识，相似三角形的相关知识，二次函数的相关知识等等．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于把求的最大值转换成求出，进而确定点P的坐标，再通过构造相似三角形转换线段之间的关系是解题的关键．
10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角，
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴点F的纵坐标为2，
把代入得：
，
解得：，，
∴的横坐标为，
此时；
当时，过点F作轴于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
此时；
综上，或；
（3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理得：，
∴当取最小值时，的值最小，
显然点在直线上运动，
作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即取得最小值，
∵点B关于直线对称的对称的点是点，B4,0，
∴，
设直线的解析式是：，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式是：，
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是，
∴，
根据平移可知：，，
∴四边形为平行四边形，
∵N是对角线与的交点，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）．
(1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值；
(2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值．
【答案】(1)或
(2)当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上．
【分析】本题主要考查了二次函数系数与函数图象的关系．
（1）需考虑为0和不为0的情况，当时图象为一直线；当时图象是一抛物线，由判别式判断；
（2）先求得抛物线的顶点为，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点C关于的对称点的坐标为2,0或，根据两对称点的中点在直线上，求解即可．
【详解】（1）解：当时，函数为，它的图象显然与轴只有一个交点；
当时，依题意得方程有两相等实数根，
∴，
∴，
∴当或时函数图象与轴只有一个交点；
（2）解：∵，
∴顶点为，
令，则，
∴，
∵点C关于的对称点恰好在x轴上，
∴这个对称点的坐标为2,0或，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
和2,0的中点坐标为，在直线上，
∴，
解得；
和的中点坐标为-1,1，在直线上，
∴，
解得；
∴当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上．
12．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，．
(1)直接写出点的坐标：_________；：_________（用含的代数式表示）；
(2)已知轴上有一点，直线与二次函数的图像交于另外一点，连接，若是直角三角形，求满足条件的的值、
(3)当时，平面内有一点，分别作点关于直线的对称点，直接写出长度的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）令，即可求得点A、B的坐标；
（2）先求出直线解析式，再与二次函数解析式组成方程组求得点E的坐标，分别求出的三边的平方，分三种情况，利用勾股定理即可求解；
（3）因点A、G的横坐标相同，它们都在过A点且垂直于x轴的直线上；作于M，设直线交于点N，则，且其正切值相等，则可得，设点横坐标为n，则易得其纵坐标，从而求得的中点坐标，再求出直线解析式，把中点坐标代入解析式中求得n的值；由、G关于直线对称，及，易求得，最后由勾股定理求出，利用二次函数的性质即可求得最小值．
【详解】（1）解：令，解得：，
故；
故答案为：；
（2）解：设直线解析式为，把点B、D两点代入得：，
解得：，
即直线解析式为；
联立二次函数解析式与直线解析式，并消去y得：，
整理得：，
解得：（舍去），
当时，，
即；
在中，令，则，
即；
由勾股定理得：，，；
当为斜边时，，
即，
整理得：，
解得：（舍去）；
即；
当为斜边时，，
即，
整理得：，
即，
，
，
即，
故不合题意；
当为斜边时，，
即，
整理得：，
解得：；
因m为正，故；
综上，或；
（3）解：当时，，；
因点A、G的横坐标相同，则它们都在过A点且垂直于x轴的直线上；
如图，作于M，设直线交于点N，
由对称性质得：，
，
，
，
即，
，
；
设点横坐标为n，则，
，
即点的坐标为；
关于直线对称，
的中点为；
设直线解析式为，
把点B、C的坐标分别代入得：，解得：，
则直线解析式为，
把中点代入解析式中，得：，
即；
由于、G关于直线对称，且，
，
平分，且点在x轴上，
由对称知：，
，
由勾股定理得
，
当时，取得最小值．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定，求函数解析式等知识，有一定的综合性，构造辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
13．（2024·江苏苏州·一模）（1）如图①，中，，，为边上一动点，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．
①若，求的长度；
②求的最大值．
（2）如图②，当点在的延长线上时，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）①
②36
（2）
【分析】本题考查的是等腰三角形性质、勾股定理的应用，相似三角形判定与性质及二次函数的性质，牢记相关知识是解题关键，
（1）作于点H，先求，再求结论即可；
（2）证明得出，进而，利用二次函数性质求出最大值即可；
（3）作于点F，设，得出，证明，得出，根据条件列出方程并解方程即可解决．
【详解】解：（1）作于点H，
中，，，
，，
在中，，
在中，；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大为36；
（3）如图：作于点F，设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
【答案】(1)，
(2)为定值，定值为
(3)
【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故；
（2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值；
（3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解．
【详解】（1）当时，即，
，
解得，，
点，点，

当时，，
点，
，
，
（2）为定值，理由如下：
点D为的外心，，
则，，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点，
则，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
则的面积，
为等腰直角三角形，
，
则的面积，
为定值；
（3） 在第一象限内的抛物线上存在一点，
以、、、为顶点的四边形只能是四边形，
又，
若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示，
由前面可知，点，点，点，设点，
若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得：
，
解得：或（不合题意舍去）；
综上，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
15．（2024·江苏泰州·三模）如图，在四边形中，，．
(1)求证：；
(2)在、上分别取点E、F，连接、，若，只用圆规分别在、上取点G、H，使四边形是矩形，并证明；（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，设，问当x为何值时，矩形的面积最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用等边对等角得出，则可求出，在利用等角对等边证明即可；
（2）分别以A、C为圆心，，为半径画弧，交，于H，G，连接，，即可；证明，得出，，利用三线合一可得出，，则，利用平行线分线段成比例得出，然后等量代换可得出，证明，得出，则，可证四边形平行四边形，再证即可；
（3）证明，求出，，同理求出，则矩形的面积为，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：连接，
，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，四边形即为所求，
理由：由作图知：，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即
∵，，，，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
同理，
∴矩形的面积为，
∴当时，矩形的面积最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，二次函数的性质等知识，明确题意，正确运用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键．
课标要求
考点
考向
确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并掌握图象的变化情况；
能根据已知条件利用二次函数表达式的三种形式通过待定系数法确定函数关系式；
能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系；
能在实际问题中列出二次函数关系书，并运用其性质解决简单的实际问题。
二次函数
考向一 二次函数中的平移
考向二 二次函数的图象与性质
考向三 二次函数解析式
考向四 二次函数与几何结合
考向五 二次函数最值问题
考向六 二次函数的解决问题
考点 二次函数
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求x、y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案．
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下表：
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园
第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
生产数量（万件）
生产成本（元/件）
销售价格（元/件）
1
9
16
2
8
14
3
7
12
10
10