备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题12直角三角形与勾股定理(原卷版+解析)

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►考向一 含30°的直角三角形
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到）．（参考数据：，）
3．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
►考向二 直角三角形中的斜中定理
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A．B．C．2D．1
2．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）

A．6B．8C．10D．12
3．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
►考向一 勾股定理与折叠问题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．
►考向二 勾股定理中的新定义
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
2．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
3．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
1．（2024·江苏无锡·三模）如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过分别作垂线，垂足记作和．现有下列结论：若，，则的最小值为3；若，，则；若，，则的最大值为；若，，为定值．其中正确的为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．③④
4．（2024·江苏无锡·一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接，，P是线段上一动点，连接，作的垂线交线段于点D，以、为边作矩形，连接，与交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江苏南通·一模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏南京·二模）用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为 ．
8．（2024·江苏无锡·二模）如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ．
9．（2024·江苏南京·二模）无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为 ．
10．（2024·江苏淮安·一模）为了响应“绿色生命，绿色家园”的号召，淮安某高校要在一块直角边，的三角形花坛中，按照设计图把正方形都种上淮安市的市花：月季，则该正方形花圃的边长为 m．
11．（2024·江苏常州·二模）如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是 ．
12．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
13．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
(1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
(2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
14．（2024·江苏常州·二模）经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．
(1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；
(2)如图①， 在中，， ， ， 若AD是 的“形似线段”，求AD的长；
(3)如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ．
15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．
(1)若 ， ，求证：．（请从信息“①，②D为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
(2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当，求的长．
16．（2024·江苏宿迁·三模）限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方高度为高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测角到公路点的俯角是．（参考数据：，，）
(1)求图中的长度；
(2)若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求．
17．（2024·江苏泰州·一模）背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”

问题：
（1）如图，在中，是斜边上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边上另找一点E，使(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，求的长．
操作并探究
（3）中，斜边上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
18．（2024·江苏南京·模拟预测）三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了约等于多少，请你帮助小明画简图并计算（结果保留根号）
【深层计算】小刚请你证明
【思考拓展】桌面上一点恰在点的正下方，且，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②用两种方法求出的长度的最大值．
19．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，中，，，点D是边的中点，点E是射线上一动点，将 沿翻折至．
(1) ______；______；
(2)当点 E 在线段 上运动时．
①当点 落在上时，求的长；
② 当时，求的长；
(3)如图2连接，整个运动过程中，当 时，直接写出的长 ．
20．（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，，为的外接圆，点P是所对弧上一动点，连接，，，并延长至E，连结．
(1)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)试猜想，，之间的数量关系为______，证明你的猜想．
21．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…
（1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”．
（2）如图3，是的角平分线，求证：．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点．
（4）在中，，，是的角平分线，且，则 ．
课标要求
考点
考向
探索并掌握直角三角形的性质定理；
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；
经历借助图形思考问题的过程，逐步建立几何直观；
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
直角三角形
考向一 含30°的直角三角形
考向二 直角三角形中的斜中定理
勾股定理
考向一 勾股定理与折叠问题
考向二 勾股定理中的新定义
考点一 直角三角形
考点二 勾股定理