备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题07函数、平面直角坐标系与一次函数(原卷版+解析)

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►考向一 从函数的图象获取信息
1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）

A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是
3．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
►考向二 函数解析式
1．设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
3．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
►考向三 判断点所在象限
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为2,1，则点Q的坐标为（ ）

A．B．0,2C．D．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
►考向四 坐标系中的新定义
1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
2．在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，，，，、为正方形外两点，且，给出如下定义：平移线段，使得点、分别落在正方形边上的点、处（可与正方形顶点重合），则线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．
(1)如图1，平移线段，在点，，，中，连接点与点______的线段长度等于线段到正方形的“平移距离”；
(2)点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，若点、都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值；
(3)若点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值与最大值．
3．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段，给出如下定义：若线段沿着某条直线l对称可以得到的弦，则称线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
(1)如图，线段，，中是的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；
(2)已知A点坐标为，B点坐标为，
①若线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．
②若将“反射线段”沿直线的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围为，求S的取值范围．
(3)已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．
►考向一 一次函数与方程的解
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
2．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的方程的解为 ．
3．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点2,0，点0,3，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ．
►考向二 一次函数与不等式的解集
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．或B．且
C．或D．或
2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或B．或
C．或x＞2D．或
3．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
►考向三 一次函数与反比例函数结合
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
3．已知一次函数和反比例函数（，）．

(1)如图1，若，且函数，的图象都经过点．
①求m，k的值；
②直接写出当时，x的范围；
(2)如图2，过点作y轴的平行线l与函数的图象相交于点B，与反比例函数（）的图象相交于点C．
①若，直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；
②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
►考向四 一次函数与二次函数结合
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
3．已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值．
►考向五 一次函数解析式
1．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
►考向六 一次函数与几何应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
3．如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15°，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝ ．
1．（2024·江苏扬州·二模）下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A．该函数图象关于直线x=1对称B．该函数y最小值为1
C．该函数y随着x的增大而增大D．该函数图象与y轴交于
2．（2024·江苏常州·模拟预测）甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量分别记为、、，它们随温度x的变化如图所示，某次实验中需要，则溶液温度x的范围应控制在（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上不存在“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
6．（2024·江苏扬州·二模）随着城市中汽车保有量的增多，交通噪声对人们生活的影响越来越大．用声压级来度量声音的强弱，其中声压级、听觉下限阈值（是大于0常数）、实际声压p满足如下关系：．下表为不同声源的声压级及声压：
已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为则 ．
7．（2024·江苏南京·一模）如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是 cm/s．

8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．
9．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知A9,0，C0,6，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 ．
10．（2024·江苏盐城·三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心为0,2，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．
(1)点的坐标为 ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．
11．（2024·江苏宿迁·二模）学习感知：
在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．
初步运用：
填空：
（1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D的坐标为 ；
（2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D纵坐标y的取值范围是 ．
延伸拓展：
已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M、N分别是的中点，P为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值．
12．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
13．（2024·江苏南京·二模）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像．
14．（2024·江苏南京·二模）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发．
(1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间．
15．（2024·江苏南京·一模）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5 小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示．
(1)该电动汽车每小时的充电量为_______；
(2)求线段所表示的Q与t之间的函数表达式；
(3)在图②中，画出小美离家的距离与t的函数图象．
16．（2024·江苏南通·一模）已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地．
(1)求甲的速度；
(2)请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
(3)当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
17．（2024·江苏泰州·一模）如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，分别求、与x之间的函数表达式；
(2)若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
18．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标；
(3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由．
19．（2024·江苏南通·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点．
(1)求b的值；
(2)求点E的纵坐标；
(3)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】
我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为．
【理解与运用】
(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为）
课标要求
考点
考向
通过简单实例，了解常量、变量的意义；
能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例；
能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定函数中的自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值；
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测；
结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式；并理解正比例函数的意义及其一次函数的隶属关系；
熟练运用待定系数法求一次函数的表达式；会用描点法画一次函数的图象，根据图象和表达式去理解一次函数的性质；
能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；能运用一次函数解决实际问题。
函数与平面直角坐标系
考向一 从函数的图象获取信息
考向二 函数解析式
考向三 判断点所在象限
考向四 坐标系中的新定义
一次函数
考向一 一次函数与方程的解
考向二 一次函数与不等式的解集
考向三 一次函数与反比例函数结合
考向四 一次函数与二次函数结合
考向五 一次函数解析式
考向六 一次函数的几何应用
考点一 函数与平面直角坐标系
考点二 一次函数
声源
与声源的距离/m
声压级
实际声压
燃油汽车
10
80

电动汽车
10
40