山东省泰安市高新区2025年九年级中考模拟数学试题（解析版）

这是一份山东省泰安市高新区2025年九年级中考模拟数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．是有理数，不符合题意；
B．是有理数，不符合题意；
C．是无限不循环小数，是无理数，正确；
D．是整数，不符合题意；故选：C．
2. 未来将是一个可以预见时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
4. 若点，在第二象限，那么a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点在第二象限，，解得：；
故选：A.
5. 下列各题中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
6. 从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足的结果数有1种，，
则关于的一元二次方程有两个相等实数根的概率．
故选：D．
7. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A. 在同一个三角形中，等边对等角
B. 两个角互余的三角形是等腰三角形
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】C
【解析】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，故选：C．
8. 已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图可知：，；
A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；故选：D．
9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】连接、，作于，如图：

六边形是正六边形，，
，，，，
，，，
，
，，
的估计值为，
故选：B．
10. 某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款万元，付乙厂货款万元，指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用天；方案③：若甲乙两厂合作天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，最节省费用的加工方案是（ ）
A. 方案①B. 方案②
C. 方案③D. 方案①和方案③
【答案】C
【解析】设甲厂单独完成这项任务需要天，则乙厂单独完成这项任务需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
这三种方案需要的工程款为：
方案①（万元）；
方案②（万元）；
方案③（万元）．
综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择方案③．
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意得，且，∴，
故答案为：．
12. 一元二次方程的解为_________________．
【答案】
【解析】，
，
，
，
或，
解得：．
13. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是__．
【答案】
【解析】首先设点P的坐标为(x，y)，根据矩形的周长可得：2(x+y)=10，则y=-x+5，即该直线的函数解析式为y=-x+5.
14. 如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为______．
【答案】或
【解析】如图所示，当点D在上方时，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角的大小为；
如图所示，当点D在下方时，
由旋转性质可得，
∵，
∴，
∴
∴，
∴旋转角的大小为；
综上所述，旋转角的大小为或；
故答案为：或．
15. 在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
．．．．．．．
∴上述坐标4个为一个循环，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）；
（2），
当时，原式.
17. 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空：
已知：如图，中，．
求证：．
（1）尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹）
（2）证明：平分线，
∴___________．
在和中，
．
___________．
___________，
．
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________．
（3）如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论．
（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：平分线，
∴．
在和中，
．，
，．
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边对大角．
故答案为：；；；；大边对大角；
（3）解：连接，
∵，，，∴，
∴，∴．
18. 已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2．
（1）______；当，x取值范围是______．
（2）若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示）
（3）将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积．
解：（1）A点横坐标为2，
，即，
，即，
∵点A和点B关于原点对称，
∴，
由图像可知，时，或；
故答案为：4，或；
（2）∵点A和点B关于原点对称，A点坐标为，
∴B点坐标为，
故答案为：；
（3）由题意可得，
，
，
联立得，
即，
解得，
，
过点B作轴交于点I，
则，，
的高为6，底为3，的高为1，底为3，
．
19. 学校团委进行了入团积极分子测试，分别从八，九年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分：100分）进行整理，描述和分析，给出以下部分信息：
（Ⅰ）八年级20名学生测试成绩的频数分布表和频数分布直方图如下：
（Ⅱ）八年级测试成绩在中分别为：83，84，86，87，88，89，89，89．
（Ⅲ）八，九年级测试成绩的统计数据如下表所示：
中根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）结合所给数据及图表中信息，对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”．
①在这次测试活动中，某学生的测试成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是八年级的学生．（ ）
②若测试成绩不低于85分为优秀，根据统计结果，估计八年级600名学生中测试成绩优秀的人数为360人．（ ）
解：（1）由题意得：；
把八年级学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，
；
（2）由题意知，成绩在这一组的人数为人，
故补全频数分布直方图：
（3）①由题意知，八年级中位数为，九年级的中位数为，某学生的测试成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是九年级的学生．故该说法错误；
②若测试成绩不低于85分为优秀，根据统计结果，估计八年级600名学生中测试成绩优秀的人数为人．故该说法正确．
20. 如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
（1）求证：；
（2）试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若正方形的边长为，求的最小值．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又由旋转得，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长至，使 ，连接、、，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，， ∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取最小值，最小值为的长，
∵，
∴最小值为．
21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
（1）证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
22. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处．
（1）求此时无人机离点所在地面的高度；
（2）此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，）
解：（1）如图所示，过点作于点，过点作于点过点作于点，则四边形是矩形，
，，∴，
，
∴，
，
，
在中，，
，
故此时无人机离点所在地面的高度是．
（2）不是，理由如下：
在中，，
，由（1）知，，
在中，，
，
，
此时无人机不在此人头顶的正上方．
23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）．
（1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
（2）若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：．
（3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求值．
（1）解：∵，∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数，
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）证明：若，则二次函数，
∴抛物线开口向下，
∵函数图象与轴有两个交点，，且，
∴当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当，取最小值，
∵，∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴，∴的值为．成绩（分）
频数（人）
频率
0.05
3
0.15
8
0.40
6
0.30
合计
20
1.00
年级
平均分
中位数
众数
八年级
83.7
89
九年级
84.2
85
85