山东省泰安市新泰市2025年九年级中考一模数学试题（解析版）

这是一份山东省泰安市新泰市2025年九年级中考一模数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 四个有理数、、、，其中比小的有理数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
∴比小的有理数是，
故选：A．
2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，新春佳节即将到来，赵大妈亲手剪制了如下四幅作品烘托节日气氛，其图形属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 不是中心对称图形，不符合题意；
B. 不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 《多收了三五斗》是我国著名作家叶圣陶创作的短篇小说，文中的“斗”是我国古代称量粮食的器具．如图是一个口大底小无盖方形的“斗”，将它按图方式摆放后的俯视图为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形如图所示：
故选A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，所以选项A错误；
B. ，所以选项B错误；
C.
，所以选项C正确；
D. ，所以选项D错误，
故选：C．
6. ，为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下面四个结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数轴可知、，则：
A．，即A选项错误，不符合题意；
B．，即B选项错误，不符合题意；
C．易得，，即C选项正确，符合题意；
D．，即D选项正确，不符合题意．
故选∶D．
7. 一组数据5，8，12，，15的平均数为，则关于的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得，
则，即.
故选：D.
8. 已知二次函数，当时，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增．
当时，；当时，，
，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，．
故答案选：B．
9. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，可知分式的分子中含有因式；
当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式，
所以y代表的分式可能是.
故选：B.
10. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：
①；
②；
③若关于的方程有实数根，则；
④若抛物线过点，则．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】抛物线（，，是常数）过和两点，且，
，即，故②正确；
对称轴轴右侧，
，
，故①正确；
若关于的方程有实数根，
抛物线（，，是常数且）与直线有交点，
，
抛物线开口向下，
抛物线的顶点纵坐标大于等于，
，
，故③错误；
抛物线（，，是常数且））过和，
，
解得，
抛物线（，，是常数且）过和两点，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故正确的结论有：①②④，
故答案选：C．
二．填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】

故答案为：
12. 方程的解为______．
【答案】无解
【解析】去分母得，
解得，
检验，当时，，故不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解，
故答案为：无解．
13. 若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．
【答案】8
【解析】由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______．
【答案】
【解析】设十位数字是，个位数字是，
十位数字比个位数字的倍大，
，
这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，
，
可列方程组．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵的坐标为,
∴,
…，
依此类推,每4个点为一个循环组依次循环，
∵，
∴点的坐标与的坐标相同,为．
故答案为：．
三．解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算
（1）；
（2）解不等式组：．
解：（1）原式
；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为．
17. 先化简，再求值：
（1），其中是满足条件的合适的非负整数．
（2），其中，．
解：（1）
∵是满足条件的合适的非负整数，，，
∴，
此时原式．
（2）原式
，
当，时，
原式．
18. 定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、．
（1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
（2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
解：（1）由新定义知，的解析式，
把点C的坐标代入上式，
得，
解得，
故答案为：，；
（2）①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴点D是两个函数的交点，
联立解析式，
得，
解得，
即点；
②由，
得；
由，
得；
∴、，
∴，
∴．
19. 某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多．
（1）求出甲、乙坚果每盒的进价分别为多少元？
（2）若超市共购进了甲、乙两种坚果100盒，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值？
解：（1）设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元；
（2）设该超市购进盒甲坚果，则购进盒乙坚果，
根据题意得：，
解得：．
设两种坚果全部售完后获得总利润为元，则
，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，且，均为正整数，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）．
答：总利润的最大值是1570元．
20. 护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离；
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？
解：（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将代入，可得，解得，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为；
（2）对于抛物线，
令，可得，
整理可得，解得，（舍去），
∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米；
（3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，
对于直线：，
令，可得，解得，
即，
将点代入，
可得，解得，
∴浇灌装置还要升高米．
21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．
（2）过点的直线交轴于点，且与反比例函数的图象只有一个交点．
①求点的坐标；
②求的长度．
解：（1）直线过点，
，
．
又反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
联立，解得或，
．
（2）①在中，令，得，
．
设直线的解析式为．
联立，得．
直线与双曲线只有一个交点，
，
，
直线的解析式为．
令，得，
．
②．
22. 【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
解：【问题探究】（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为．
故答案为：，0＜x＜1；
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解．
故答案：；
【拓展应用】（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；
从函数角度看，解不等式相当于求双曲线，
在直线上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知，与的交点分别为和，因此解集为或；
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．
23. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
（1）若抛物线经过点；
①点的坐标为______；
②当时，抛物线取得最大值为，求的值；
（2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围；
（3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围．
解：（1）①∵抛物线过点，
∴，即，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与轴交于点坐标为，
当时，即，解得，，
∴点，
故答案为：；
②∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大，
∴时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小，
∴时，为最大值，
即，
解得或（舍），
综上所述，的值为或；
（2）∵点，在抛物线上，
∴，，
当时，即，
即，
解得；
（3）∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点为，
∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时，
即，
解得；
Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时，
当时，，
当时，，
∵，对称轴为，
∴，
∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），
∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得，
综上，的取值范围是或．
…
0
1
2
…
…
0
无意义
*
*
*
…