2024-2025学年江苏省苏州市吴江中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市吴江中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cs15°⋅cs75°=( )
A. 32B. 12C. 34D. 14
2.化简AC−BD+CD得( )
A. ABB. DAC. BCD. BA
3.“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α=0，β=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
4.将函数f(x)=sin(2x+2π3)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到偶函数y=g(x)的图象，则m的最小值是( )
A. 11π12B. 5π6C. 5π12D. π12
5.已知sinα− 2csα=0，则cs2α=( )
A. −13B. 0C. 13D. 23
6.函数f(x)=sinx−cs(x+π6)的值域为( )
A. [−2,2]B. [− 3, 3]C. [−1,1]D. [− 32, 32]
7.函数f(x)=5tanx与g(x)=6csx在(0,π2)内的交点为P，过P作x轴的垂线交ℎ(x)=sinx的图象于点P1，与x轴交于P2，则线段P1P2的长度是( )
A. 13B. 12C. 23D. 23
8.已知α，β均为锐角，cs(α+β)=−513，sin(β+π3)=45，则cs(α−π3)=( )
A. 3365B. −3365C. 6365D. 3365或6365
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 零向量是最小的向量
C. 若AB+BC+CA=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D. 单位向量都相等
10.声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y=Asinωx.设声音的函数为φ(x)，音的响度与φ(x)的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x)的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉.假设复合音甲的函数解析式是f(x)=sinx+12sin2x，纯音乙的函数解析式是g(x)=32sinωx(ω>0)，则下列说法正确的有( )
A. 纯音乙的响度与ω无关
B. 纯音乙的音调与ω无关
C. 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω>1
D. 复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
11.设函数f0(x)=sinx，将函数y=f0(x)图象上的所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y=f1(x)的图象，将函数y=f1(x)图象上的所有的点的横坐标变成原来的1ω,(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=f2(x)的图象，将函数y=f2(x)图象上的所有的点的纵坐标变成原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=f(x)的图象.下列四个选项中正确的是( )
A. 当ω=12时，函数f(x)的最小正周期为4π
B. 当ω=π2时，函数f(x+φ)(φ>0)是偶函数，则φ的最小值为14
C. 当ω=π时，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=− 2
D. 若f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，ω的取值范围是[198,238)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα，tanβ是方程3x2+5x−7=0的两个根，则tan(α+β)= ．
13.cs57°cs18°+cs33°cs108°的值是______．
14.若函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]内至少出现三次最大值，则ω的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tan(π4+α)=12．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α−cs2α1+cs2α的值．
16.(本小题15分)
f(x)=2cs2x+2 3sinxcsx(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的对称轴和对称中心；
(3)设方程f(x)=52在区间[0,π3]内的两解分别为x1，x2，求cs(x1−x2)的值．
17.(本小题15分)
某地引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线l(l为直线)距离均为75 3km(如图)，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为50 3km，需在A，B，C之间设置补能点M(无人机需经过补能点M更换电池)，且MC⊥l，∠AMB=π2.设∠MAB=θ．
(1)当θ=π6时，求无人机从A到C运输航程|MA|+|MC|的值；
(2)将|MA|+|MB|+|MC|表示为关于θ的函数f(θ)，求出f(θ)的定义域，并求f(θ)的最小值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=|sinx|−2csx．
(1)若θ∈(0,π)，f(θ)=2，求tanθ的值；
(2)设x0∈(0,2π)，f(x)在x=x0处取得最大值，求cs2x0；
(3)关于x的方程f(x)=k+1k在区间[0,6π]上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围．
19.(本小题17分)
通过两角和的正.余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：
cs3α=cs(2α+α)=cs2αcsα−sin2αsinα
=(2cs2α−1)csα−2sin2αcsα
=4cs3α−3csα
(1)根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
(2)求sin3126°+sin36°−sin366°sin18∘的值；
(3)求证：sin18°是方程8x3−4x+1=0的一个根．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.AC
11.ACD
12.−12
13. 6− 24
14.9π2
15.解：(1)因为tan(π4+α)=12，
所以1+tanα1−tanα=12，解得tanα=−13；
(2)sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α2cs2α=2tanα−12=2×(−13)−12=−56．
16.解：(1)由题意，f(x)=cs2x+1+ 3sin2x=2( 32sin2x+12cs2x)+1=2sin(2x+π6)+1，
则f(x)的最小正周期为T=π；
(2)由2x+π6=π2+kπ,k∈Z，
可得：x=π6+kπ2,k∈Z，
由2x+π6=kπ,k∈Z，可得：x=kπ2−π12,k∈Z，
所以对称轴为：x=π6+kπ2,k∈Z，对称中心为：(kπ2−π12,1)；
(3)由(1)知f(x)=2sin(2x+π6)+1，所以方程f(x)=52可化为：sin(2x+π6)=34，
由x1，x2为方程sin(2x+π6)=34的两个根可得，sin(2x1+π6)=34且sin(2x2+π6)=34，
因为x∈[0,π3]，所以2x+π6∈[π6,5π6]，
则在区间[0,π3]内2x1+π6+2x2+π6=π，解得x1+x2=π3，
所以cs(x1−x2)=cs(π3−x2−x2)=cs(π3−2x2)=sin(2x2+π6)=34．
17.解：(1)根据题目：该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线l(l为直线)距离均为75 3km(如图)，
计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输．由于该无人机最远运输距离为50 3km，
需在A，B，C之间设置补能点M(无人机需经过补能点M更换电池)，且MC⊥l，∠AMB=π2.设∠MAB=θ．
延长CM交AB于点E，
由题意得EM⊥AB，|CE|=75 3，
在直角三角形ABM中，|MA|=|AB|⋅csθ=100× 32=50 3，
在直角三角形EAM中，|EM|=|MA|⋅sinθ=50 3×12=25 3，
所以|MC|=75 3−25 3=50 3，
则|MA|+|MC|=100 3．
(2)由(1)得|MA|=100csθ，|MB|=100sinθ，|MC|=75 3−100csθsinθ，
则f(θ)=100csθ+100sinθ+75 3−100sinθcsθ，
由题意得100csθ≤50 3100sinθ≤50 375 3−100sinθcsθ≤50 3，解得π6≤θ≤π3，
所以f(θ)的定义域为[π6,π3]，
令sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)=t，
因为θ∈[π6,π3]，所以θ+π4∈[5π12,7π12]，
因为sin5π12=sin7π12=sin(π3+π4)= 6+ 24，所以t∈[ 3+12, 2]，
则|MA|+|MB|+|MC|=100t+75 3−50t2+50=−50(t−1)2+75 3+100，
当t= 2，即θ=π4时，f(θ)取得最小值，f(π4)=100 2+75 3−50，
所以f(θ)得最小值为100 2+75 3−50．
18.解：(1)因为θ∈(0,π)，sinθ>0，−1