黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024−2025学年高一下学期四月月考数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024−2025学年高一下学期四月月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知点，若点在轴上，且⊥，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．已知点，向量，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，为边的中点.若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．1B．-1C．-2D．2
6．在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．已知，若，则D．与夹角的余弦值为
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，则
B．若，则为钝角三角形
C．若是等边三角形，则，的夹角为
D．在中，若，则必是等腰直角三角形
11．设分别是的内角的对边，则下列条件中能确定为锐角的是（ ）
A．B．
C．D．
12．在锐角中，角的对边分别为，且满足.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．的取值范围为D．的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题）
13．在平行四边形OACB中，已知，，O为坐标原点，则顶点C的坐标为 .
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
15．已知为等腰三角形，且，则 .
16．平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知向量满足．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与共线，求的坐标．
18．已知向量，．
(1)求；
(2)若向量满足，求向量；
(3)在（2）的条件下，若，求实数的值.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
20．在中，，，边，上的点，满足，，为中点．
(1)设，求实数，的值；
(2)若，求边的长．
21．如图，在凸四边形中，已知．
(1)若，，求的值；
(2)若，四边形的面积为4，求的值．
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点.
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，，，求的最小值；
(3)若，，，求的面积.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为在轴上，所以可设，
所以
因为，所以，
解得，故，
故选D.
2．【答案】A
【详解】由，，，
两边平方可得，
即，
解得，则.
故选A.
3．【答案】D
【详解】设，因为向量，，
则，
，
因为，所以，解得，∴.
故.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由图可得，.
故选A
5．【答案】B
【详解】由题设知：，而得，
∵，
∴.
故选B.
6．【答案】C
【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状.
【详解】由题意得，
即，由正弦定理得，
即，则，因为，所以，
又，
所以,
故，因为，所以．
综上可知三角形为等边三角形．
故选C.
7．【答案】B
【详解】
解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，，，
设与的夹角为，
则，
由投影的概念可得：当与重合时， 取得最大值，
此时.
故选B.
8．【答案】C
【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的条件，再根据余弦定理即可得结果.
【详解】因为，即，
可得，即，
由正弦定理可得，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若取得最小值，则，
此时最大角为角A，，
所以的最大内角的余弦值是.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误.
故选BC.
10．【答案】AB
【详解】对于A中，设外接圆的半径为，由，可得，
所以，所以，所以A正确；
对于B中，若，可得，即，
因为，所以，所以为钝角三角形，所以B正确；
对于C中，若是等边三角形，则的夹角为，所以C不正确；
对于D中， 因为，由正弦定理得，
所以，则或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，所以D不正确.
故选AB.
11．【答案】AB
【详解】对于A选项：，即，故A正确；
对于B选项：，
，，，故B正确；
对于C选项：，，
，，．故C错误；
对于D选项：，，
，，故D错误．
故选AB.
12．【答案】ABD
【详解】由余弦定理得，，，
所以，即，
由正弦定理得，
①，
又因为，所以
②，
将②式代入①式可得，
整理得，
因为，所以，即，故A正确；
在锐角中，，解得，故B正确；
由，故C错误；
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，，
，故D正确.
故选.
13．【答案】
【详解】设，因为，，
则，，
因为四边形OACB为平行四边形，
所以，所以，
则顶点C的坐标为.
14．【答案】/
【详解】在中，由及正弦定理，得，而，
所以.
15．【答案】/0.875
【详解】在中，令内角所对边分别为，
由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形，
由余弦定理得.
16．【答案】
【详解】不妨设由,
由可得是的重心，
由可得,
由重心的性质可得,,
不妨设,则，
故由余弦定理可得，
,
所以
记，平方可得,
由于，所以，此时取最大值4，故的最大值为2，
因此的最大值为.
17．【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）结合向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．
【详解】（1），则，
设与的夹角为，,，
因为，，
则，解得，
故；
（2）与共线，，则，
由，故，解得，
故或．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为向量，，
所以.
所以.
（2）因为，
所以.
所以.
（3）因为，由（2）知，.
所以.
所以即
19．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，即，
所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
所以，
即，所以，
又，即，
所以的周长为.
20．【答案】(1)，；
(2)8.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以
，
又，且、不共线，
所以，；
（2）因为，
所以
，
解得或（舍去），即边的长为．
21．【答案】(1)；
(2)﹒
【详解】（1）在△中，∵，
∴．
在△中，由正弦定理得，，
∴．
∵，∴，
∴．
（2）在△、△中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，
②，
得，，
∴．
22．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
又，所以，所以，即，则，
所以为等腰三角形
（2）依题意可得是边长为的等边三角形，
在中，设，，
由正弦定理，所以，
在中，
由余弦定理
，
因为，所以，所以当，即时，
此时，所以.
（3）设，则，为锐角，
所以，，
在中，由余弦定理及可得
，
所以，
由，且，
所以，又，
所以，
所以，
所以，，
而
，
所以
.