黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
已知集合 A  1, 2, 3 ， B  1, 3, 5，则 A ∩ B  （）
1, 2, 3, 5
C. 2, 3
1, 2
D. 1, 3
设命题 p : x  0 ， x3  x2  2 ，则 p 的否定为（）
x  0 ， x3  x2  2
C. x  0 ， x3  x2  2
x  0 ， x3  x2  2
D. x  0 ， x3  x2  2
已知扇形的圆心角为 3rad，面积为 24，则该扇形的弧长为（）
A. 4B. 4πC. 12D. 12π
“ x1, x2 1, 2 ，当 x1  x2 时，都有 f  x1   f  x2  ”是“ x 1, 2 ，都有 f  x  f 2 ”的（）
充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
 1 0.9
设 a  20.1 ， b   
 3 
， c  ln
99
100
，则 a, b, c 的大小关系为（）
a  b  c
c  a  b
b  c  a
c  b  a
αβ
设ln x2  2 ln x  3  0 的两根是α、β，则lg β lg α （）
 3B.3
1010
C.  10D. 10
33
函数 f  x  x2  ax  b ， x t, t  4 .设 f  x 的最大值为 M ，最小值为m ，当 a ， b ， t 在变化时， M  m 的最小值为（）
A 1B. 2C. 4D. 8
0.5
已知正实数 a, b, c 满足 a2 16  2b 16  lgc  3 ，则下列关系不可能的是（）
A c  a  bB. c  b  a
C. b  a  cD. a  b  c
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，漏选得部分分.
下列说法中正确的是（）
60°化成弧度是 π rad
3
角α终边落在第一象限，则角α为锐角
角α是第二象限角，则α是第三象限角
2
角 π 与角 5π 的终边相同
33
已知α 0, π ，且sinα csα
7
，则（）
13
A. csα  5
13
C. tanα  12
5
B. csα  12
13
D. tanα  5
12
下列命题中正确的是（ ）
3  
A
 11 2
0.027
1
2
  2 7 2  
10  45
7  9 

B. 2 lg 22  3lg 2 lg 5  lg 52  lg 2 的值为1
C. 若 x lg 4  1 ，则4x  4 x 的值为10
33
D. 若2m  3n  k 且 1  1  2 ，则 k  6
mn

定义区间α,β 的长度为βα，记函数 f  x  lg ax  1 a2  x2  （其中 a  0 ）的定义域 I 的长
度为 L a ，则下列说法正确的有（）
L a 
a
1 a2
2
L a 的最大值为 1
L a 在0, ∞ 上单调递增
给定常数 k 0,1 ，当 a 1 k,1 k  时， L a 的最小值为
1 k
k 2  2k  2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
70 的终边在第象限.

 1
已知函数 y 
f (x) 的表达式为 f (x)  x 2 , x  0 ，则 f (x)  2 的解集为.
1, x  0
若实数 a 、b 、c 满足 4  1
2a2b
 1 ，1 c  2a  4c  2b  2ab ，则实数c 的最小值是.
设函数 f (x) 的定义域是( 0, 1) ，满足：（1）对任意的 x (0,1) ， f (x)  0 ；（2）对任意的x1 ，
x (0,1) ，都有
f  x1  
f 1 x1   2 ；③ f  1   2 .则函数 g( x)  xf ( x)  1 的最小值为
2f  x 
f 1 x 
 2 x
22
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 3, 4 在角α的终边上.
求tanα的值：
sinα csα
求
2sinα csα
的值.
已知函数 f  x  ax2  3x 1a  R  .
若关于 x 的不等式 f  x  0 的解集为x b  x  1，求 a ， b 的值；
求关于 x 的不等式 f  x  ax 1a  0 的解集.
已知函数 f (x)  lga x a  0 且 a  1 .
若 f  x 的图象经过点9, 2 ，求不等式 f 5x  3  f  x 的解集；
若存在 x，使得 f  x  2  f  x  2  2 f ax ，求 a 的取值范围.
20 已知函数 f  x  ax  1
ax
（ a  0 且a  1）.
判断函数 f  x 的奇偶性；
若 f 1  3 ， g  x  a2 x  a2 x  2mf  x ，且 g  x  在1,  上的最小值为2 ，求m 的值.
2
海洋潮汐（Ocean Tide）是沿海地区的一种自然现象，古代称白天的河海潮水为“潮”，晚上的为“汐”， 合称为“潮汐”.习惯上把海水在海面垂直方向的涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.如图所示，现在海里竖立着一块等腰三角形状的标识牌，若该标识牌的腰长为 5 米，底边长为 8 米，开始时均在海平面以下，随着海水落潮该标识牌逐渐露出水面，最终全部在海平面以上.设海平面与该标识牌的交线为 PM ，
且 BP  4x 0  x  2 米，记海平面以下部分的多边形为 ，  的面积为 S  x ，  的周长为 L  x .
（1）计算 S  1  和 L  3  ；
2
2
  

（2）求 S  x 和 L  x 的解析式；
（3）记 F  x ，求 F  x 的最小值.
L  x S  x
对于函数 f  x ， x  D ，若存在 x0  D ，使得 f  x0   x0 ，则称 x0 是函数 f  x 的不动点．
已知 f  x  lg
4x  a  2x 1 在0, 1  上有且仅有一个不动点，求实数 a 的取值范围；
2 2 
若 f  x 是增函数，且 f  x 的定义域包含其值域，证明：“ x0 是 f  f  x 的不动点”的充要条件是
“ x0 是 f  x 的不动点”；
求方程 x4  1 x2  7
 x 的实数解．
336
哈尔滨德强高级中学 2025-2026 学年度上学期 12 月月考考试
高一年级数学试题
时间：120 分钟满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
已知集合 A  1, 2, 3 ， B  1, 3, 5，则 A ∩ B  （）
1, 2, 3, 5
C. 2, 3
1, 2
D. 1, 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的运算法则可得答案.
【详解】由题意得： A ∩ B  1, 3.
故选：D
设命题 p : x  0 ， x3  x2  2 ，则 p 的否定为（）
x  0 ， x3  x2  2
C. x  0 ， x3  x2  2
x  0 ， x3  x2  2
D. x  0 ， x3  x2  2
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题 p : x  0 ， x3  x2  2 的否定是：
x  0 ， x3  x2  2 ，故选：C．
已知扇形的圆心角为 3rad，面积为 24，则该扇形的弧长为（）
A. 4B. 4πC. 12D. 12π
【答案】C
【解析】
【分析】先由扇形的面积公式 S  1 lr  1αr 2 可得半径，进而由弧长公式可得答案.
22
【详解】设该扇形的弧长为l ，圆心角为α，半径为 r ，
由 S  1 lr  1αr 2 ，可得 1  3r 2  24 ，解得 r  4 ，
222
故l  rα 12 .
故选：C.
“ x1, x2 1, 2 ，当 x1  x2 时，都有 f  x1  
f  x2  ”是“ x 1, 2 ，都有 f  x 
f 2 ”的（）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性的定义，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】x1 , x2 1, 2 ，当 x1  x2 时，都有 f  x1   f  x2  ，则 f  x 在1, 2单调递增，所以
f  x  f 2 ；
反之x 1, 2 ，都有 f  x  f 2 ，不能得到 f  x 在1, 2单调递增，
例如 f  x   x 1.12 ，该函数在1,1.1上单调递减，在1.1, 2上单调递增， f 1  f 2 ，
显然满足 f  x  f 2 ，但在1, 2上不单调递增；
所以“ x1 , x2 1, 2 ，当 x1  x2 时，都有 f  x1   f  x2  ”是
“ x 1, 2 ，都有 f  x  f 2 ”的充分且不必要条件.
故选：A
 1 0.999
设 a  20.1 ， b   
 3 
， c  ln
100
，则 a, b, c 的大小关系为（）
a  b  c
【答案】D
【解析】
c  a  b
b  c  a
c  b  a
【分析】根据指数、对数函数的单调性，可求出 a，b，c 的范围，即可得答案.
【详解】因为 y  2x 在 R 上单调递增，所以 a  20.1  20  1 ，
 1 x
因为 y   3 
 1 1
在 R 上单调递减，所以 3 
 1 0.9
  3 
 1 0
  3 
，即 1  b  1，
3
   
因为 y  ln x 在(0, ) 上单调递增，所以c  ln
所以c  b  a .
故选：D
99
100
 ln1  0 ，
αβ
设ln x2  2 ln x  3  0 的两根是α、β，则lg β lg α （）
 3B.3
1010
C.  10D. 10
33
【答案】C
【解析】
【分析】求得α,β，结合对数运算求得正确答案.
【详解】由ln x2  2 ln x  3  ln x  3ln x 1  0 得ln x  3 或ln x  1 ，解得 x  e3 或 x  e1 ，不妨设α e3,β e1 ，
所以lg β lg α lg e1  lge3   1  3   10 .
αβe3
故选：C
e133
函数 f  x  x2  ax  b ， x t, t  4 .设 f  x 的最大值为 M ，最小值为m ，当 a ， b ， t 在变化时， M  m 的最小值为（）
B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论函数 f  x 在区间t, t  4 上的单调性，利用变换主元及二次函数性质求解即可.
【详解】当 a  t 时， f  x  x2  ax  b 在t, t  4 上单调递增，
2
M  f t  4, m  f t  ，
则 M  m  f t  4  f t   8t 16  4a ，
令 g t   8t 16  4a ，
因为 g t  在定义域内单调递增，所以 g t   g   a   16 ，
2 

当且仅当t   a 时等号成立，此时 M  m 的最小值为16 ；
2
当 a  t  4 时，即 a  2t  8 时， f  x  x2  ax  b 在t, t  4 上单调递减，
2
m  f t  4, M  f t  ，
则 M  m  f t   f t  4  8t 16  4a ，
令 h a  4a 16  8t ，
因为 h a 在定义域内单调递减，所以 h a  h 2t  8  16 ，当且仅当 a  2t  8 时等号成立，此时 M  m 的最小值为16 ；
当t   a  t  4 时，由二次函数性质可知，要使 M  m 有最小值，
2
则 a  t  2 ，即2a  4t  8 ，此时 M 
2
f t  
f t  4 ， N 
f t  2 ，
所以 M  N  f t   f t  2  t 2  at  b  t  22  a t  2  b  4t  4  2a  4 ；
综上： M  m 的最小值为4 .
故选：C
0.5
已知正实数 a, b, c 满足 a2 16  2b 16  lgc  3 ，则下列关系不可能的是（）
c  a  b
C. b  a  c
【答案】A
c  b  a
D. a  b  c
【解析】
0.5
【分析】令 a2 16  2b 16  lgc  3  t t  16 ， 即可得到 a 
t 16
， b  lg2 t 16 ，
x 16
c  0.5t  3 ，画出 f  x 
， g  x  lg  x 16 ， h  x  0.5x  3 的图象，结合图象即可判断.
2
0.5
【详解】因为 a, b, c 为正实数，令 a2 16  2b 16  lgc  3  t t  16 ，
t 16
所以 a ， b  lg2 t 16 ， c  0.5t  3 ，
x 16
因为 f  x 在16,  上单调递增且 f 12  2 ，
g  x  lg2  x 16 在16,  上单调递增且 g 12  2 ，
h  x  0.5x  3 在16,  上单调递减且 f 0  g 0  h 0  4 ，
x 16
2
在同一平面直角坐标系下画出 f  x ， g  x  lg  x 16 ， h  x  0.5x  3 的图象如下所示
（为了理解，将横坐标缩短处理）：
由图可知当16  x  12 时 h  x  f  x  g  x ，即当16  t  12 时c  a  b ；
当12  x  0 时 h  x  g  x  f  x ，即当12  t  0 时c  b  a ；
当 x  0 时 f  x  g  x  h  x ，即当t  0 时 a  b  c ；综上可得c  a  b 不可能成立.
故选：A
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，漏选得部分分.
下列说法中正确的是（）
60°化成弧度是 π rad
3
角α终边落在第一象限，则角α为锐角
角α是第二象限角，则α是第三象限角
2
角 π 与角 5π 的终边相同
33
【答案】AD
【解析】
【分析】根据象限角的范围和终边相同角的定义即可求解 BCD，根据弧度与角度的互化即可求解 A.
【详解】对于 A, 60°化成弧度是 π rad ,A 正确，
3
对于 B，角α 390∘ 的终边落在第一象限，但角α为不是锐角，B 错误，