黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，，若向量，则（ ）
A．B．C．8D．
3．在三角形中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知向量，满足，则（ ）
A．0B．2C．D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．3B．5C．4D．6
6．已知向量，则下列向量与平行的是（ ）
A．B．C．D．
7．四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．与的夹角为
C．若，则D．存在，使得
11．在边长为3的正方形中，分别是边上的动点（含端点），且，则的取值可以是（ ）
A．12B．11C．10D．9
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，，则与的夹角为 ．
13．在中，角所对的边分别为，且，则 ．
14．已知，，且.若，则当时，的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．在中，分别是角的对边. 若.
(1)求的值；
(2)求边长的值.
17．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
(1)用、表示；
(2)求的值.
18．已知，．
(1)当x，y为何值时，与共线？
(2)是否存在实数x，y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由．
19．正等角中心（psitive isgnal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
(1)若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为，所以，解得.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由可得，
所以，又，
所以或，
结合内角和定理，所以或，
故选C.
4．【答案】B
【详解】由，得，
∵，∴，即.
故选B.
5．【答案】B
【详解】因为，，则，
所以.
故选B.
6．【答案】D
【详解】因为，所以．
若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意．
故选D．
7．【答案】D
【详解】如下图，因为点为的中点，所以，
又因为，所以，则
，
所以，则.
故选D.
8．【答案】C
【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，可知O为的中点，
又因为O为的外接圆圆心，则，
且，即，
可知为等边三角形，即，
如图，建立平面直角坐标系，
则，设，
可得，
则，
可知当时，取到最小值.
【方法总结】根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，.
9．【答案】CD
【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．
故选CD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由题可知，故A项正确；
对于B，，故与的夹角为，故B项错误；
对于C，若，则，故C项正确；
对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】
如图，以为坐标原点，射线的方向分别为轴､轴的正方向，建立平面直角坐标系.
则.设，其中，因，则
则，.
因为，
故得，解得，当且仅当时，等号成立.
又，当且仅当点或点与点重合时等号成立，
故得，即，又，
所以都满足其范围，不满足其范围，故ABC正确，D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】设与的夹角为，因为，，，
所以，因为，
所以，即与的夹角为．
13．【答案】
【详解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
14．【答案】
【详解】因为，所以，又，.
故可以建立直角坐标系，如图所示：
设，，则，，在线段上取点，
因为，，三点共线，故存在，使得，
又，取，则在以为圆心，以1为半径的圆上.
.
因为直角斜边上的高为：，
所以当，在，之间时，取得最小值，为；
当与重合，点坐标为时，取得最大值，为.
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得，
因为，所以，即，
显然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或,
当时，又，所以，又，，
所以，则，与矛盾，所以舍去；
所以．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
18．【答案】(1)，y为任意实数
(2)存在，或．
【详解】（1）因为与共线，所以存在实数，使得，
所以，解得，
所以当，y为任意实数时，与共线．
（2）由．①
由．②
联立①②解得或，所以或．
所以存在实数x，y，使得，且，
此时或．
19．【答案】(1)①；②；
(2)．
【详解】（1）①在中，由正弦定理及，得，
即，由余弦定理得，
又，所以.
②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：，
设，由得：
，整理得，
所以.

（2）由，得，
即，又，，则，
于是，整理得，即，
又，有，则，，
由点为的费马点，得，
设，，，，
由，得，
由余弦定理得，
，
，
相加得得，
整理得，于是，当且仅当，即时取等号，
又，因此，而，解得，
所以实数的最小值为．