黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，.若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且∥，则实数（ ）
A．B．1C．D．4
3．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，，且，则
A．B．4C．5D．
5．已知为虚数单位，复数，，若复数是纯虚数，则
A．1B．C．2D．4
6．已知锐角的外接圆的圆心为，半径为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acsA，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）．
A．若．则有两组解
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若满足，则与的夹角为
D．在中，若
10．在中，角的对边分别为，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以AB为直径的半圆弧上（正方形ABCD内部，含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若Q为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为
三、填空题
12．若复数z满，则z的虚部为 ．
13．已知向量，，若，则向量的夹角的余弦值为 .
14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝8，c＝6，a＝4，D为边BC的中点，则|AD|＝ .
四、解答题
15．（1）已知复数．若为纯虚数，求的值；
（2）已知复数，若满足，求的值．
16．设､是两个不共线的非零向量
（1）记，，，那么当实数为何值时，，，三点共线？
（2）若且与夹角为120°，那么实数为何值时的值最小，并求出最小值.
17．已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．
（1）求村庄B、C之间的距离；
（2）求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．
18．如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

（1）求的值；
（2）若为边上一点，且，求的长．
19．在中，．
（1）若，的面积为，求c；
（2）若，
①求面积的最大值；
②求周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，故，即，解得，故
故选B
2．【答案】C
【详解】因为，且∥，
所以，得，
故选C
3．【答案】C
【详解】，
∴，，
∴；
又知，平方可得，
∴，∴.
故选C.
4．【答案】C
【详解】解得
故选C。
5．【答案】C
【详解】分析：由纯虚数的概念，令其实部为0，得，进而可求模长.
详解：，
若复数是纯虚数，则，所以.
所以，则.
故选C.
点睛：本题主要考查了复数的概念，属于基础题.
6．【答案】A
【详解】由题可分析,再利用数量积求得,进而由三角形性质求解即可.
【详解】由题,因为,
所以,所以,
所以,
故选:A
7．【答案】D
【详解】解：因为c＝2acsA，
由余弦定理可得，将a＝3，b＝5代入整理得，
所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】，由正弦定理得：，即，
由余弦定理知：，，
，即，
由正弦定理得：，
，
整理可得：，
为锐角三角形，，，，
，即，
，
，
，，，，
，，，
即的取值范围为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A中，因为，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以或，此时三角形有两解，所以A正确；
对于B中，由向量，且与的夹角为锐角，
则且向量与方向不相同，
由，解得，
设，即，可得，解得，
所以向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围是，所以B错误；
对于C中，由，有，则，
则且，
设与的夹角为，可得，
因为，所以，即与的夹角为，所以C正确；
对于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】在中，因为，即，
由余弦定理，
又，所以，，故A错误，B正确；
因为，则，所以，故C正确；
因为， ，，
则，
所以，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
11．【答案】ACD
【详解】在边长为2的正方形ABCD，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
对于A，，则，A正确；
以AB为直径的半圆为，
由动点P在以AB为直径的半圆上，设，
对于B，，
，，的最大值为4，B错误；
对于C，，而，
则，，
又，则当时，，C正确；
对于D，取的中点，，
而，因此，D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】由可得：，
故z的虚部为.
13．【答案】.
【详解】，，，∴.，，.
14．【答案】
【详解】试题分析：由余弦定理，csB＝
于是，在△ABD中，|AD|2＝62＋22－2×6×2csB＝46
即|AD|＝
考点：余弦定理，解三角形
15．【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．
（2）设，所以，
．
所以，解得或.
16．【答案】（1）；（2）当时，取最小值.
【详解】（1）
由三点、、共线，故存在一个常数使得
则有，
又，，，
∴
又，是两个不共线的非零向量，
∴，
解得，；
故存在时，､､三点共线知；
（2），
∴
当时，取最小值.
17．【答案】（1）干米
（2）千米
【详解】（1）由题意可得，，，
在中，由余弦定理可得，
则，故，
即村庄，之间的距离为干米；
（2）在中，由正弦定理可得，
则，从而，
故村庄在村庄的正西方向，
因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
解得，则，
故，
即农贸市场到村庄､的距离之和为千米.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由余弦定理得：
∴ ,
由正弦定理：得.
（2）如图所示：

过作于，在中， ，，
∴，，在中，.
∴
∴
∴
19．【答案】（1）
（2）①；②
【详解】（1）因为，利用正弦定理，可得：
，
所以，
因为为的内角，所以，所以.
又，所以.
由.
由余弦定理：，
所以.
（2）在中，，，
由余弦定理：.
因为，当且仅当时取“”，
所以.
所以.
所以当为等边三角形时，面积取得最大值为.
又，且，当且仅当时取“”，
所以.
所以，
所以周长的取值范围为：.