黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高一下学期开学验收考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高一下学期开学验收考试 数学试题（含解析），共20页。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2，选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据集合运算的定义求解.
【详解】根据题意，，.
故选：A.
2. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特值说明判断A，B，C；作差判断D作答.
【详解】对于A，取，，则，A错误；
对于B，取，，则，B错误；
对于C，取，，则，C错误；
对于D，因，则，即，D正确．
故选：D
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解对数不等式，再利用集合间的包含关系进行判断.
【详解】因为，
集合为集合的真子集，
所以推出，反之不成立，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化成集合间的基本关系，属于基础题.
4. 已知角α的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：D
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，
在函数中，，解得且.
则定义域为.
故选：C.
6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.
【详解】由图知，则，
由，则，可得，
又，则，故，
由题意，故.
故选：B
7. 若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论.
【详解】由题意可得，可得，
，则，所以，，
作出函数、、的图象如下图所示：
对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，
又因为函数、的图象关于直线对称，
所以，点、关于直线对称，则，故.
故选：B.
8. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ）
A.
B.
C.
D. 在区间内单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而，结合图形判断单调性，依次判断选项即可.
【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图，
由正方形的滚动轨迹知，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
……
所以，即函数是以4为周期的周期函数.
所以，AB正确；
,
,
∴，
与单调性一致，函数在内单调递增，则函数在上单调递增，D正确.
故ABD正确，∴说法错误为C.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项中的函数定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，易知其定义域为，满足奇函数定义，且为增函数，即A正确；
对于B，易知其定义域为，满足偶函数定义，不符合题意，B错误；
对于C，易知其定义域为，关于原点对称，
但它和上单调递减，C错误；
对于D，显然的定义域为，且满足，为奇函数，
当时，在上单调递增，
由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增，即D正确.
故选：AD
10. 下列各式中，最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，当时，无最小值；对于B，由于的最大值为1，所以取不到最小值4；对于C，D，利用基本不等式可求解.
【详解】对于A，当时，，所以无最小值，A不符合题意
对于B，由已知，所以，当即时，取等号，而最大值为1，所以等号取不到，所以 的最小值不是4，即B不符合题意
对于C，，当即时，取等号，所以最小值为4，C符合题意
对于D，，当，即时，取等号，所以 的最小值为4，所以符合题意．
故选：CD．
【点睛】此题考查基本不等式求最值的方法，注意基本不等式应用的条件，时，才有，并注意等号成立的条件，属于基础题.
11. 已知定义在R上的偶函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B.
C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减
D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定函数的性质，导出对称性、周期，再逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得函数的图象关于点对称，A错误；
对于B，由是偶函数，得，
即，所以，B正确；
对于C，由函数在上单调递增及是偶函数，得在上单调递减，
由选项B知，是周期为4的周期函数，当时，，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，，当时，
，，D正确.
故选：BCD
12. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
C. 若，则的取值范围是
D. 若，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】据中心对称即可求值A；由周期范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D.
【详解】对于A，由及在上单调递减，
得的图象关于点对称，因此，A正确；
对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，
即，解得，，而周期，则，
又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确；
对于C，，取，函数在上单调递减，
即也满足要求，C错误；
对于D，依题意，为单调递减区间的子集，
则，其中，解得，，
当时，，当时，，
所以的取值范围是，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知过点，则实数______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据点在函数上计算求参.
【详解】因为过点，所以,所以.
故答案为：2.
14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
15. 若，则__________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据得到，变换，计算得到答案.
【详解】，解得，
.
故答案为：
16. 已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，则方程转化为，
原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.
【详解】令，则方程转化为，
作出函数的图象如下图所示，
由题意，方程有五个不相等的实数根，
即有一个根，一个根 或有一个根，一个根
令，
当时，或，
当时，，解得或，符合题意；
当时，，解得或，符合题意；
当有一个根，一个根，
则解得：，
当有一个根，一个根
则解得：，
综上，实数m的取值范围为
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17. 已知函数，则
（1）求，，的值；
（2）若，则的值是多少？
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式求得正确答案.
（2）根据函数解析式列方程，由此求得.
【小问1详解】
，，
.
【小问2详解】
若，
则或，
解得或.
18. 已知，且．
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）已知，且，求的值．
【答案】（1）
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值；
（2）利用诱导公式化简，即可求值；
（3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可.
【小问1详解】
因为，且，所以，
即；
【小问2详解】
由；
【小问3详解】
因为，，所以，
又因为，所以，
则.
19. 设函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数；
（2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。
【小问1详解】
由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根，
得解得，所以.
【小问2详解】
若，则，即，
因为，所以，是方程的两个实数根，
①当时，，不等式的解集为，
②当时，解集为，
③当时，，不等式的解集为，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
20. 已知定义在上的函数满足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，求解即可；
（2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；
（3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可.
【小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时，等号成立
所以，
故实数的取值范围是
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
21. 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数：
根据定义，解决下列问题：
（1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质；
①
②
③
请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分
（2）已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）{或或}
【解析】
【分析】（1）根据双曲函数定义代入计算证明；
（2）使用换元法构造函数，原问题等价于在上有两个不同的零点，构造，求解即可．
【小问1详解】
证明：①；
②；
③
【小问2详解】
由知，令，
由单调递增，单调递减，
易知单调递增；
又，
则，进而，可转化成，
故原问题等价于在上有两个不同的零点，
于是，进而，解得
即或或，
所以实数m的取值范围为{或或}
22. 已知.
（1）已知函数，记方程在区间上根从小到大依次为、、、，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，可得出，令，数形结合在利用正弦型函数的对称性可求得的值；
（2）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出对任意的恒成立，利用对勾函数的单调性求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
.
令，
因为，则，
令，又，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，的图象与直线共有个交点，即，
因为，
所以，.
【小问2详解】
，即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，
因为，则，
由对勾函数的性质知在上单调递减，
又，所以，
则的最大值为，故.
因此，实数的取值范围是.