贵州省贵阳市北大新世纪贵阳实验学校2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份贵州省贵阳市北大新世纪贵阳实验学校2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．向量 （ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知向量,则的充要条件是 （ ）
A．B．C．D．
5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（ ）
A．无解B．恰有一解C．恰有两解D．不能确定
6．在中，已知， ， ，则的面积S为( )
A．B．C．D．6
7．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．(6.5)D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若x,,则的充要条件是
B．是纯虚数
C．若,则
D．当时,复数是纯虚数
11．给出下列命题，其中正确的选项有
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则为等腰三角形
C．若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12． .
13．若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则 .
14．已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．计算:
(1) ；
(2) .
16．已知平面向量，，，且.
(1)求；
(2)若，，求及与的夹角的大小.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
18．如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O．
(1)若，求的值；
(2)求的余弦值．
19．在中，角的对边分别为，已知向量与向量互相垂直.
（1）求角；（2）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得.
故选A.
2．【答案】B
【详解】
∴
故选.
3．【答案】D
【详解】
.
在复平面内对应的点位于第四象限.
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为向量,则，故其充要条件是选D
5．【答案】C
【详解】中，则，而，，
所以，显然满足的三角形恰有两个.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由，得(舍去).
又根据余弦定理得: ，
化简得: ，
将代入可得 ，计算得出: 或(舍去)，则，故.
由，且，可得，
故的面积为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】由，可得，
所以，
又三点共线，由三点共线定理，可得：，
，
故选C.
8．【答案】D
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选D.
9．【答案】ABC
【解析】在选项中，由余弦定理可得正确；在选项中，由正弦定理可得结论，正确；在选项中由余弦定理整理得，可得正确；在选项中，由余弦定理可得错误，即可得解.
【详解】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：
在选项中，由余弦定理得：，故正确；
在选项中，由正弦定理得：，
，故正确；
在选项中，，
由余弦定理得：，
整理，得，故正确；
在选项中，由余弦定理得：，
故错误.
故选ABC.
10．【答案】BD
【解析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入
，验证结果是纯虚数，所以正确.
【详解】取,,则,
但不满足,故A错误；
,恒成立,所以是纯虚数,
故B正确；
取,,则,但不成立,故C错误;
时，复数是纯虚数,
故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】解：对于：非零向量、满足，
令：，，
则，，
由于，
如图所示：
所以四边形为菱形，且为等边三角形；
所以，，
则与的夹角为，故正确．
对于：由于，
所以，
所以为等腰三角形，故正确．
对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
即，
当时，的最小值为，故正确；
对于，，，
由于为锐角，
所以且与不同向，
即
则且，故不正确．
故选ABC．
12．【答案】
【详解】.
13．【答案】-2
【详解】试题分析：以点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.
14．【答案】
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)
(2)
16．【答案】(1)12
(2)，与的夹角的大小为
【详解】（1），，，
，解得.
（2）由（1）知，，，
，，
，，，
.
，，即与的夹角的大小为.
17．【答案】(1)
(2).
【详解】（1），由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）由（1）得，
所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，
由题意，易得，,过点作轴于点，
则,故,
则又，则
故得，，解得，
故．
（2）由图知，
，
即的余弦值为.
19．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为向量与向量互相垂直，
所以，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
（2）因为，所以，得,
所以，
,
因为，所以，
所以，
所以
所以的取值范围是.