贵州省遵义市第二中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份贵州省遵义市第二中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．7，8B．7，16C．6，8D．6，16
5．若是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：，）
A．12B．11C．10D．9
8．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中错误的有（ ）
A．，则B．若，则
C．若，则存在实数，使得D．
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ）
A．A与C互斥B．B与C对立C．A与B相互独立D．
11．如图，已知正方形边长为，动点从中点出发，以每秒一个单位的速度在正方形的边上沿着的路线运动，设运动时间为秒， ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有个零点D．是偶函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则为 （填数字）.
13．已知是第四象限角，且 ，那么的值为
14．已知函数，则函数的零点个数为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值．
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
17．某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；
(3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.
18．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若的值域为，求a的取值范围；
(3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
(1)已知，求；
(2)若向量，求证：；
(3)记，且满足，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由集合，，
得，
故选C.
2．【答案】A
【详解】由.
故选:A.
3．【答案】A
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题意，，.
所以，，，的平均数
，
方差.
故选B.
5．【答案】D
【详解】如图作，设，，
由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，
因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；
又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，
故也不一定成立，即必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
6．【答案】C
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，故排除A；
因为，故排除D；
当时，，在单调递增，故排除B，
故选C.
7．【答案】B
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，
令小时后，，则小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选B.
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，
又，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.
故选D.
9．【答案】AB
【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，A错误；
对于B，若，当时，不一定共线，B错误；
对于C，若，则存在实数，使得，C正确；
对于D，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知，D正确，
故选AB.
10．【答案】AC
【详解】样本空间为，事件，事件，事件，
A.∵，∴与互斥，A正确.
B.∵，∴与不对立，B错误.
C.∵，∴，
∵，
∴，与相互独立，C正确.
D.∵，∴，
∵，∴，D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】
如图建立直角坐标系，可知，设，
可知
所以
即，
当时，，所以，
即，故A正确；
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以综上可得,故B错误；
当时，由或（舍去）；
当时，由或（舍去）；
当时，由（舍去）或（舍去）；
当时，由或（舍去）；
当时，由或（舍去）；
综上可得的零点有个，故C正确；
由于定义域为，关于直线对称，
当时，由
所以，则此时关于直线对称；
当时，，则，
则此时关于直线对称；
当时，，则，
则此时关于直线对称；故为是偶函数，故D正确；
故选ACD．
12．【答案】
【详解】∵，，.
13．【答案】
【详解】因为是第四象限角，所以，
由，可得：，
所以，
所以.
14．【答案】7
【详解】由题意，令，解得或，
作出的图象，如图，

由图可知，直线与图象有3个交点，
直线与图象有4个交点，
所以原方程有7个解，
即函数有7个零点.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
（2）由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
16．【答案】（1）（2）
【详解】（1），
（2）因为，所以，
，
所以
17．【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）第一至第五组对应的频率分别为；；
；；，
所以，解得，
所以参赛歌手的平均成绩为分.
（2）由，，
得参赛歌手成绩的分位数为分.
（3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；
在的人数为人，分别记为，.
在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，
这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件，
故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.
18．【答案】(1)单调增区间是，单调减区间时；
(2)
(3)不存在，理由见解析；
【详解】（1）当时，，
由，可得：或，
易知，在单调递增，在单调递减，
又单调递增，
所以的单调增区间是，单调减区间时；
（2）当时，，显然满足值域为，
当时，要使得的值域为，需满足：，
解得：，
综上可知：若的值域为，a的取值范围是；
（3）不存在，理由如下：
若函数在区间上单调递减，
需满足：在上单调递减，且在恒成立，
若在上单调递减，
满足，
当时，需满足，即，
当时，需满足，恒成立，
综上可得：在上单调递减a的取值范围是，
若在恒成立，
即，
令，易知在对称轴处取到最大值，
所以，
显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立，
所以不存在实数使得函数在区间上单调递减.
19．【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由，得；
（2）由向量，向量，得，
因此，同理，
所以；
（3）依题意，，，
则当为锐角时，，当为钝角时，，
当为锐角时，
，
当时，取到最大值；
当为钝角时，
，
当，即时，取得最大值，
所以的最大值.