贵州省贵阳市2024-2025学年高一下学期4月月考数学检测试题（含答案）

这是一份贵州省贵阳市2024-2025学年高一下学期4月月考数学检测试题（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 向量 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算.
【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得.
故选：A.
2. 已知复数，则
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用复数的运算法则化简复数，进而可求其模长.
【详解】
∴
故选：
3. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】D
【分析】利用复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．
【详解】
.
在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
4. 已知向量,则的充要条件是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】因为向量,则，故其充要条件是选D
5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（ ）
A. 无解B. 恰有一解C. 恰有两解D. 不能确定
【正确答案】C
【分析】由三角形内角的性质得，结合的大小关系，即可判断三角形个数.
【详解】中，则，而，，
所以，显然满足的三角形恰有两个.
故选：C
6. 在中，已知， ， ，则的面积S为( )
A. B. C. D. 6
【正确答案】A
【分析】由已知的等式分解因式，求出b与c的关系，用c表示出b，然后根据余弦定理表示出，把a与的值代入即可得到b与c的关系式，将表示出的含c的式子代入即可得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，从而求得c的值，即可求得的面积.
【详解】由，得(舍去).
又根据余弦定理得: ，
化简得: ，
将代入可得 ，计算得出: 或(舍去)，则，故.
由，且，可得，
故的面积为.
故选：A
7. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.
【详解】由，可得，
所以，
又三点共线，由三点共线定理，可得：，
，
故选C.
本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
8. 如图，复数z对应向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. (6.5)D.
【正确答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
二、多选题（每小题6分）
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABC
分析】
在选项中，由余弦定理可得正确；在选项中，由正弦定理可得结论，正确；在选项中由余弦定理整理得，可得正确；在选项中，由余弦定理可得错误，即可得解.
【详解】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：
在选项中，由余弦定理得：，故正确；
在选项中，由正弦定理得：，
，故正确；
在选项中，，
由余弦定理得：，
整理，得，故正确；
在选项中，由余弦定理得：，
故错误.
故选.
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题.
10. 已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A. 若x,,则的充要条件是
B. 是纯虚数
C. 若,则
D. 当时,复数是纯虚数
【正确答案】BD
【分析】
选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入
，验证结果是纯虚数，所以正确.
【详解】取,,则,
但不满足,故A错误；
,恒成立,所以是纯虚数,
故B正确；
取,,则,但不成立,故C错误;
时，复数是纯虚数,
故D正确.
故选:BD
本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.
11. 给出下列命题，其中正确的选项有
A. 非零向量、满足，则与的夹角为
B. 若，则为等腰三角形
C. 若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
【正确答案】ABC
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、、、的结论．
详解】解：对于：非零向量、满足，
令：，，
则，，
由于，
如图所示：
所以四边形为菱形，且为等边三角形；
所以，，
则与的夹角为，故正确．
对于：由于，
所以，
所以为等腰三角形，故正确．
对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
即，
当时，的最小值为，故正确；
对于，，，
由于为锐角，
所以且与不同向，
即
则且，故不正确．
故选：．
三、填空题（每小题5分）
12. ______.
【正确答案】
【分析】直接按向量的运算法则进行计算即可.
【详解】.
故
13. 若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则______.
【正确答案】-2
【详解】试题分析：以点为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.
考点：向量的坐标运算.
14. 已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故；.
三、解答题
15. 计算:
(1) ；
(2) .
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到结果.
【详解】(1)
(2)
本题考查复数的四则运算，属于基础题.
16. 已知平面向量，，，且.
（1）求；
（2）若，，求及与的夹角的大小.
【正确答案】（1）12 （2），与的夹角的大小为
【分析】（1）根据的坐标运算可得答案；
（2）由坐标计算出与，由向量数量积的坐标表示及向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
，，，
，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，，
，，，
.
，，即与的夹角的大小为.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求b.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，从而求出；
（2）由三角形面积公式求出，结合，求出，由余弦定理求出答案.
【小问1详解】
，由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
18. 如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O．
（1）若，求的值；
（2）求的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得；
（2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得.
【小问1详解】
如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，
由题意，易得，,过点作轴于点，
则,故,
则又，则
故得，，解得，
故．
【小问2详解】
由图知，
，
即的余弦值为.
19. 在中，角的对边分别为，已知向量与向量互相垂直.
（1）求角；（2）求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由两向量垂直得到，再根据余弦定理得到,即求得角；
（2）,代入原式，整理为,再根据,求函数的值域.
【详解】（1）因为向量与向量互相垂直，
所以，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
（2）因为，所以，得,
所以，
,
因为，所以，
所以，
所以
所以的取值范围是.