贵州省遵义市正安县第二中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份贵州省遵义市正安县第二中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．已知有如下命题：
①把化成角度是；
②若扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为；
③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限；
④角是第二象限角；
其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．或2D．或
7．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（ ）
A．B．C．D．
8．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的有（ ）
A．是第二象限角
B．已知角的终边过点，则
C．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以
D．若点为的重心，则
11．如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且．已知，，则 ．（用，表示）

13．一个扇形的弧长等于内接其所在圆的等边三角形边长，则这个扇形的中心角弧度数为 .
14．中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线上；
(2)终边落在直线上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
16．如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．
(1)若，米，求该扇形环面展台的周长；
(2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
17．设是平面直角坐标系内的四点，已知点.
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求点的坐标；
(3)若，求的值.
18．如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点．
(1)记向量，，试以向量，为基底表示，；
(2)若，求m，n的值；
(3)求证：A，G，H三点共线．
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线.
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标，的值；
(3)已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点，，的坐标.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误；
对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确；
对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，
即，不能得出，C错误；
对于D，若，则，D错误，
故选B.
2．【答案】C
【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或.
故选C.
3．【答案】D
【详解】因为，，，
所以有，即，
当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是，
故选D.
4．【答案】D
【详解】对于A选项：，共线，故不能构成基底；
对于B选项：，共线，故不能构成基底；
对于C选项：，共线，故不能构成基底；
对于D选项：假设与共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数，使得：，整理得：，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立，所以与不共线，可以构成基底.
故选D.
5．【答案】D
【详解】对于命题①，因为，所以命题①正确，
对于命题②，设扇形的半径为，弧长为，由题有，解得，
所以扇形的周长为，故命题②正确，
对于命题③，取，显然有是第一象限的角，
但，是第三象限角，所以命题③错误，
对于命题④，因为，所以角是第二象限角，故命题④正确，
故选D.
6．【答案】D
【详解】当时，由三角函数的定义可知，
此时；
当时，由三角函数的定义可知，
此时；
故选D.
7．【答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
设与轴正方向相同的单位向量为，与轴正方向相同的单位向量为，则，
设
因为不共线，所以有，
故选C.
8．【答案】B
【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是，
的面积是，

∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即．
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，，由于为第三象限的角，故为第三象限的角，A错误，
对于B，角的终边过点，则，故，B正确，
对于C，经过分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过弧度，C错误，
对于D，由于圆心角为的扇形的弧长为，故扇形的半径为，则该扇形面积为，D正确，
故选BD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项：若,则不成立；
对于B选项：，若方向不同，则不成立，反之，若，则他们大小和方向均相同，所以，正确；
对于C选项：向量的两个要素：方向和大小，其中方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，正确；
对于D选项：如图，点为的重心，则延长分别与相交于三点,所以分别为中点,且,所以,成立.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】易知，所以，因此A错误；
显然，可得B正确；
，所以C正确；
因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得；
所以，即D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】，．
，
又，，
，．
13．【答案】
【详解】设等边三角形的边长为（），扇形的中心角弧度数为（），弧长为，
由正弦定理得：该等边三角形的外接圆半径，
根据题意得：，即.
14．【答案】/
【详解】如下图所示：
因为，为边的中点，所以，
又三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为
，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
16．【答案】(1)米
(2)元
【详解】（1）弧的长度，弧的长度，
所以扇形环面展台周长为：米；
（2）设，米，
则弧的长度，弧的长度，
因为该扇形环面的周长为米，所以，即，
整理得，
则该扇形环面展台的面积：平方米，
所以布置该扇形环面展台的总费用为：元.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为；
（2）设，则，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为；
（3），
所以，
因为，所以，解得，
所以.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；
（2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果；
（3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论.
【详解】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，，
所以，
．
（2）由（1）知，，
所以，
因为，所以，解得；
（3），
设，，则
，
又，
所以，解得，所以，
所以，
所以，即A，G，H三点共线．
19．【答案】(1)
(2)，
(3)，，
【详解】（1），
因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，
即，得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，
所以；
（2），
所以；
（3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，
，
所以，
因为，所以.