精品解析：贵州省贵阳市北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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注意事项：
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 下列关系式正确的是（）
A. B.
C. D.
2. 已知命题，，则其否定（）
A. ，B. ，
C ，D. ，
3. 设函数则等于（）
A. 1B. 5C. 2D.
4. 已知，若集合，则的值为（）
A. B. C. 1D. 2
5. 函数定义域是（）
A. B.
C. D.
6. 若，则（）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
7. 函数的值域是（）
A. 0,1B. C. D. 0,1
8. 函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）
A. 若，则
B. 命题：，为假命题
C. 若，则
D. 函数的值域为
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，，集合，，则集合可以是（）
A. B. C. D.
10. 下列函数与函数不是同一函数的是（）
A. B.
C. D.
11. 下列说法正确的是（）
A. 一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
13. 已知函数定义域为，则函数的定义域为_________．
14. 权方和不等式作为基本不等式一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，，，求：
（1），；
（2），．
16. （1）比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
17. 求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）.
18. 已知函数，表示，中的最小值．
（1）求，的值；
（2）求的解析式；
（3）求的解集．
19. 阅读材料：如图1所示，函数的图象是向下凸的，在0,1上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在0,1上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的上方，此时函数称为上凸函数．具有这样特征的函数通常称做凸函数．
定义1：设函数y=fx是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称y=fx为区间上的下凸函数，如图2．下凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方．
定义2：设函数y=fx是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称y=fx为区间上的上凸函数，如图3．上凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方．
上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的．例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．结合阅读材料回答下面的问题：
（1）请尝试列举一个下凸函数：_________；
（2）求证：二次函数是上凸函数；
（3）已知函数，若对任意，，恒有，求实数的取值范围．