河北省衡水市第二中学2024−2025学年高一下学期第二次调研考试数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市第二中学2024−2025学年高一下学期第二次调研考试数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列函数中，是奇函数且周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A．B．3C．D．7
4．已知平行四边形中，点为的中点，， （），若，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．已知在中，，，设是的内心，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ）
A．17B．20C．34D．48
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件
C．若且，则三角形为等腰直角三角形
D．若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则
10．如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．四边形ABCD的面积为
C．外接圆的周长为D．
11．设函数，则（ ）
A．的图象有对称轴B．是周期函数
C．在区间上单调递增D．的图象关于点中心对称
三、填空题（本大题共3小题）
12． 是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．
13．如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为 ．
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为 秒．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为3，求的值.
16．如图，在中，是的中点，点满足与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
18．某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设.
(1)用表示的面积，并求的最大值；
(2)为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：）
19．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．
(1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；
(2)若是回旋函数，求实数ω的值；
(3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】对于A选项，，，奇函数，周期，正确；
对于B选项，，，偶函数，周期，错误；
对于C选项，，
，不具有奇偶性，周期，错误；
对于D选项，，，偶函数，周期，错误.
故选A.
2．【答案】B
【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，
此时；
若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，
此时.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因向量在向量上的投影向量是，
则，
故，
于是.
故选A.
4．【答案】B
【详解】解：依题意设，
则，
即，所以，故；
故选B．
5．【答案】C
【详解】将代入，
可得
.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由的部分图象知，，解得，
所以，又，解得，
因为，所以，所以.
若，不妨设的位置如图1所示，则，
又，所以，又，
所以；
同理时，如图2，，
令，解得，
所以点是图象与轴的一个交点，即关于直线对称，
得，解得，
所以.
综上，.
故选D.
7．【答案】C
【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设的内切圆的半径为，则，解得
故，则
因为，所以，即，解得，故.
故选C.
8．【答案】C
【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为，
则分别是的中点，由勾股定理得，
，
，
故,
当反向时等号成立，
所以的最大值是.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】解：对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误；
对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则，
若，取，则，而，
故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；
对于C、因为，对等式两边同时平方可得，
化简整理可得，所以，即
又因为，和分别是和方向上的单位向量，
设，，
则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线，
，说明的平分线垂直于BC，所以，
综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确；
对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或，
当夹角为时，， 选项D错误.
故选BC.
10．【答案】BC
【详解】由题意可得，
所以，故A错误；
过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，
，
则四边形的面积为
=，故B正确；
因，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得，
故外接圆的周长为，故C正确；
因，，
，故D错误.
故选BC．
11．【答案】ABD
【详解】∵，
∴是偶函数，关于轴对称，故A正确；
∵，
∴是函数的一个周期，故B正确；
，∵，，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
，
∴的图象关于点中心对称.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：.
13．【答案】2
【详解】设
由于，故
又因为，，所以
， 则
同理可得


当时，的最大值为2.
14．【答案】80
【详解】由题意可知，由于，所以得.
因为时，，所以.
由，可求得，从而.
所以，其中.
当盛水筒位于水面以下时，应满足，即.
可列不等式，
解得.
因为，所以当时，；
当时，；
当时，.
由，
可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由余弦定理可得：，
，
又，
，即，
又，，可得，
，即，
.
（2）由（1）知，，
又，故，，
，
解得.
.
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则．
（1）由，得，所以．
由是的中点，得，所以．
设，则．
因为三点共线，
所以，即①，
因为三点共线，
所以，即②，
联立①②解得点的坐标为，
所以．
所以，所以实数的值为．
（2）设，
则．
因为，所以，解得，所以点的坐标为，
所以．
又，所以．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
18．【答案】(1)，
(2)75600元
【详解】（1）在中，，，则，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，则，，
所以当，即时，取得最大值，最大值为.
（2）在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因为在上单调递增，所以，
，
所以建造护栏所需费用的最小值为元.
19．【答案】(1)不是，理由见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）代入题目给的定义求解即可，
（2）求解分讨论即可，
（3）求解讨论得
【详解】（1）因为，
所以，
所以不恒成立，
所以函数不是一个阶数为的回旋函数．
（2）设是阶数为t的回旋函数，则，
若，上式对任意实数x均成立；
若，，
因为的值域为，所以，
当时，对任意实数x有，
则，，
所以，；
当时，对任意实数x有，
则，，所以，．
综上所述，，．
（3）因为对任意的x都成立，
由（2）可知，，，
所以．
令，解得（）．
因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以．
又因为，所以，所以．