河北省辛集市辛集中学2024−2025学年高一下学期第二次月考数学试题（含解析）

这是一份河北省辛集市辛集中学2024−2025学年高一下学期第二次月考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．下面命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
2．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数z满足，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
5．在中，，则（ ）
A．30°B．45°C．30°或150°D．60°
6．已知复数，复数，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．已知向量、的夹角为，且满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量满足，则向量的模的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
11．下列说法正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量的长度与向量的长度相等
C．是与非零向量共线的单位向量
D．若四边形满足，则四边形是平行四边形
12．若向量满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是钝角三角形
C．为直角三角形D．若，则外接圆半径为
三、填空题（本大题共4小题）
14．已知，，，以、为基底将分解为的形式为 .
15．已知，若复数，则 ．
16．设是复数且，则的最小值为 .
17．在中，、、分别为三个内角、、的对边，，若的外接圆面积为，则周长的最大值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
18．已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数
（1）求复数；
（2）若复数是纯虚数，求实数的值
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
20．已知向量.
（1）求的取值范围；
（2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
21．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）

(1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
(2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
22．如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），设.
（1）若，与交于点，，求的值；
（2）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误；
对于，向量无法比较大小，故选项错误；
对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确；
对于，若，则，故选项错误.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由余弦定理得.
故选B.
3．【答案】B
【详解】，所以
故选B.
4．【答案】D
【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
故选D.
5．【答案】A
【详解】由正弦定理，可得，
∵，则，即，
∴.
故选A.
6．【答案】C
【详解】A选项：易知，，又，则，即，故选项A正确；
B选项：当，则，，故选项B正确；
C选项：由于，则，，x不恒为0，故选项C错误；
D选项：由于，则，
，
，
故，选项D正确.
故选C.
7．【答案】B
【详解】因为，，
所以，所以，
又，即，所以，所以，
所以，又，所以.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，
∴，∴，故三角形有唯一解．
若B成立，，，，有，∴，又，
故，故三角形无解．
若C成立，，，，有 ，∴，又，
故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．
若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．
故选C．
9．【答案】C
【详解】，
，
故.
故选C.
10．【答案】B
【详解】设与之间的夹角为，，由.
当时，原方程可化为1=0不成立，所以.
又由，有，所以，
解得：，故的最大值．
故选B.
11．【答案】BCD
【详解】依题意，
平行向量即共线向量，故A错误．
与为相反向量，所以模长相等，故B正确．
是与非零向量共线的单位向量，C正确．
，所以且，
则四边形是平行四边形，D正确．
故选BCD.
12．【答案】BC
【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A，B，C；求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，，
所以，所以，故A错误；
对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，且，
所以在上的投影向量为，故D错误.
故选BC.
13．【答案】AD
【详解】在中，由正弦定理得，A正确；
令，显然是最大角，由余弦定理得：
，则是锐角，B，C都不正确；
因，则，令外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得，D正确.
故选AD.
14．【答案】
【详解】由题意可得，
所以.
15．【答案】
【详解】因为，
所以.
16．【答案】/
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.
17．【答案】
【详解】解： ，由正弦定理得：，
即，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为1
所以由正弦定理得：，解得：
由余弦定理得：，则
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立
所以，解得：，周长的最大值是.
18．【答案】（1）
（2）1
【详解】（1）设，，则，
就是，即.
于是，解得，所以.
（2）
.
此为纯虚数，所以，即，因此.
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，而，，即有，而，解得，
所以的面积为.
20．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）（1）因为，
可得
，
因为，所以.
（2）解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
21．【答案】(1)300米；
(2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
【详解】（1）由题设，
所以米；
（2）设米，则，，
由，则
，
当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
22．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因三点共线，则，
化简后可得，又，
由平面向量基本定理，可得.
又在等腰梯形中，可得.
又，则，则.
又，则，
又三点共线，则，由平面向量基本定理可得：
，则，，
故；
（2）由题可得，
由（1）可得，
由图可得，又如图过D，C做AB垂线，垂足为G，H.
因，又四边形ABCD为等腰梯形，则，
结合，可得.
则，
则
，
结合，可得.