广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2024−2025学年高一下学期3月学科素养能力测试数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2024−2025学年高一下学期3月学科素养能力测试数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．的虚部为（ ）
A．9B．C．D．
2．在中，，则角的大小为（ ）
A．B．C．或D．
3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A．B．1C．D．
4．已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（ ）
A．2B．C．6D．
5．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，向量与满足，且，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰非等边三角形
7．如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ）

A．B．C．D．
8．在锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知向量，，满足，，，则（ ）
A．B．当时，
C．当时，D．在上的投影向量的坐标为
11．已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积是B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．△PAB面积的最大值是D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
13．设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为 .
14．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复平面内表示复数（）的点为.
(1)若点在函数图像上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的面积为．求的周长．
18．如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，求边的长.
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】,
所以的虚部为-7，
故选B.
2．【答案】A
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理，即，所以，
又，所以，则.
故选A..
3．【答案】C
【详解】在中，，由，得，
因此的面积，
所以原三角形面积是.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为直三棱柱，
所以直三棱柱的体积为.
故选D.
5．【答案】D
【详解】为的中点，，
．
故选D.
6．【答案】B
【详解】，分别为向量与的单位向量，
因为，所以角的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形，且，
由，，所以，
所以，可得，
所以是等腰直角三角形.
故选B
7．【答案】D
【详解】由题意可知，，又因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
由题意可知，，因为，
则.
故选D.
8．【答案】A
【详解】在锐角中，，因为，，，
所以，，解得，
所以，，
而，
所以
可得，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，
所以，即.
故选A.
9．【答案】BD
【详解】虚数不能比较大小，A选项错误；
复数，则，则，B选项正确；
，C选项错误；
对应点为，D选项正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】对A，，，，所以，故A错误；
对B，，，当时，，即，故B正确；
对C，，由可得，即，故C正确；
对D，在的投影向量为，故D错误.
故选BC
11．【答案】AD
【详解】根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项：

对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长，
故圆锥的侧面积是，A正确；
对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误；
对于C，由题意可知,
故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误；
对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有，
化简可得，则圆柱的侧面积，
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确.
故选AD
12．【答案】
【详解】由复数为纯虚数，可知，
，得.
13．【答案】
【详解】由题设，
，不共线，
，
，，三点共线，
与共线，
存在实数，使，
，
，解得.
14．【答案】/1.5
【详解】根据圆内接四边形的性质可知; ,
所以，
即，
在中，,故，
由题意可知： ,
则，所以，
故，
当且仅当时等号取得，
又，所以，
则 ，则实数的最小值为.
15．【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）因为点在函数图像上，
所以，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，即，
当两向量共线且反向时，设，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由，得，
则，整理得，
而，则，又，
所以.
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为.
18．【答案】(1)，.
(2)8
【详解】（1）∵，，∴，
∴，∴，.
（2），
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又， 所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理得，
即，
所以，
即（当且仅当时，等号成立），
因为，
所以，解得，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），
所以长度的最大值为.